Question

calcule o valor de a na equação x²-2x+a=0, de modo que as raízes sejam reais e diferentes

Answer 1

Para que uma equação do segundo grau da forma

$\alpha x^{2}+\beta x+\gamma=0,~~~~\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbb{R}\,,\alpha\neq0$

tenha raízes reais e distintas, devemos ter que

$\Delta~\textgreater~0$

onde

$\Delta=\beta^{2}-4\cdot\alpha\cdot\gamma$
______________________________

$x^{2}-2x+a=0$

Encontrando $\Delta$:

$\Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot a\\\\\Delta=4-4a$

Para que a equação tenha raízes distintas, faremos $\Delta~\textgreater~0$:

$\Delta~\textgreater~0~\Leftrightarrow\\\\4-4a~\textgreater~0~~~~~~\mathtt{(somando~4a~nos~dois~lados)}\\\\4-4a+4a~\textgreater~0+4a\\\\4~\textgreater~4a~~~~~~\mathtt{(dividindo~os~dois~lados~por~4)}\\\\\dfrac{4}{4}~\textgreater~\dfrac{4a}{4}\\\\1~\textgreater~a$

Ou, equivalentemente,

$\boxed{\boxed{a~\textless~1}}$

Ou seja, qualquer valor de $a$ menor que 1 fará com que a equação tenha duas raízes distintas (e necessariamente reais)