Question

calcule o valor da tg75° -tg 15°

Answer 1

Resposta: $\mathrm{tg}(75^\circ)-\mathrm{tg}(15^\circ)=2\sqrt{3}.$

Explicação passo a passo:

Calcular o valor da expressão

$\mathrm{tg}(75^\circ)-\mathrm{tg}(15^\circ)\qquad\mathrm{(i)}$

Tomemos a fórmula da tangente da diferença entre dois arcos:

$\mathrm{tg}(\alpha-\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)-\mathrm{tg}(\beta)}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(\beta)}$

$\Longrightarrow\quad \mathrm{tg}(\alpha)-\mathrm{tg}(\beta)=\mathrm{tg}(\alpha-\beta)\cdot \big(1+\mathrm{tg}(\alpha)\cdot\mathrm{tg}(\beta)\big) \qquad\mathrm{(ii)}$

com $\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(\beta)\ne -1.$

Aplicando a identidade (ii) acima para $\alpha=75^\circ$ e $\beta=15^\circ,$ a expressão (i) fica

$=\mathrm{tg}(75^\circ-15^\circ)\cdot \big(1+\mathrm{tg}(75^\circ)\cdot\mathrm{tg}(15^\circ)\big)\\\\ =\mathrm{tg}(60^\circ)\cdot \big(1+\mathrm{tg}(75^\circ)\cdot\mathrm{tg}(15^\circ)\big)\qquad\mathrm{(iii)}$

Mas $75^\circ+15^\circ=90^\circ,$ ou seja, $75^\circ$ e $15^\circ$ são ângulos complementares. Nesse caso, vale a propriedade

$\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(90^\circ-\alpha)=1$

(o produto das tangentes de ângulos complementares é igual a 1)

Então, a expressão (iii) fica

$=\mathrm{tg}(60^\circ)\cdot \big(1+\mathrm{tg}(75^\circ)\cdot\mathrm{tg}(90^\circ-75^\circ)\big)\\\\ =\sqrt{3}\cdot (1+1)\\\\ =\sqrt{3}\cdot 2\\\\ =2\sqrt{3}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Bons estudos! :-)