Calcule o valor da soma. Obrigada a quem ajudar.
n
∑ [Cn,k]/(k+1)
k=0
Obs. Cn,k --> significa combinação de n elementos tomados k a k.
Lukyo:
Oi, utilizei a notação de número binomial, espero que não seja nenhum empecilho para a compreensão da resposta...
Soluções para a tarefa
Respondido por
4
Relembrando algumas propriedades do somatório:
Obs.: (P1) é conhecida como propriedade telescópica do somatório.
ATENÇÃO: para que (P2) seja válida, necessariamente o limite inferior do somatório deve ser e o limite superior deve ser
Lembremos também da simetria dos números binomiais complementares:
Obter uma forma fechada para um somatório não é sempre uma tarefa fácil. Ás vezes, temos que arriscar certos artifícios e torcer para que encontremos o resultado desejado. Ainda bem que aqui, eu consegui via soma telescópica.
Obter uma forma fechada para o somatório
Consideremos a seguinte sequência numérica dada pela seguinte lei de formação:
Calculemos a diferença entre dois termos consecutivos da sequência acima:
Multiplicando o numerador e o denominador da segunda fração por temos
Para simplificar a fração dentro dos colchetes, vamos adicionar e subtrair ao numerador:
Usando no segundo número binomial, temos
Resumindo, temos que
com
Aplicando somatório de até aos dois lados em temos
A soma do lado esquerdo é telescópica. Logo, por temos
Utilizando no somatório do lado esquerdo, podemos reescrevê-lo como
Obs.: (P1) é conhecida como propriedade telescópica do somatório.
ATENÇÃO: para que (P2) seja válida, necessariamente o limite inferior do somatório deve ser e o limite superior deve ser
Lembremos também da simetria dos números binomiais complementares:
Obter uma forma fechada para um somatório não é sempre uma tarefa fácil. Ás vezes, temos que arriscar certos artifícios e torcer para que encontremos o resultado desejado. Ainda bem que aqui, eu consegui via soma telescópica.
Obter uma forma fechada para o somatório
Consideremos a seguinte sequência numérica dada pela seguinte lei de formação:
Calculemos a diferença entre dois termos consecutivos da sequência acima:
Multiplicando o numerador e o denominador da segunda fração por temos
Para simplificar a fração dentro dos colchetes, vamos adicionar e subtrair ao numerador:
Usando no segundo número binomial, temos
Resumindo, temos que
com
Aplicando somatório de até aos dois lados em temos
A soma do lado esquerdo é telescópica. Logo, por temos
Utilizando no somatório do lado esquerdo, podemos reescrevê-lo como
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