Question

Calcule o valor da soma ∑n=120.241in, lembrando que i2=−1

 

Answer 1

Temos a soma de 20,241 que multiplica i elevado a n, com isso, o valor da soma depende exclusivamente de i^n. Vamos ver o que acontece com as potências de i:

$i^0 = 1 \\ i^1 = i = \sqrt{-1} \\ i^2 = -1 \\ i^3 = i^2i = - \sqrt{-1} = -i \\ i^4 = i^2i^2 = 1 \\ i^5 = i^4i = i$

Perceba que para as potências de i^0 a i^3, temos valores distintos, e que este se repetem a partir de i^4.

Na soma, como n começa em 1, temos que para n = 1:
20,241 * i = 20,241i

Para n = 2:
20,241 * i^2 = -20,241

Para n = 3:
20,241 * i^3 = -20,241i

Para n = 4:
20,241 * i^4 = 20,241

Perceba que somando os valores para n = 1 e n = 3, o resultado é 0 e somando os valores para n = 2 e n = 4, o resultado também é 0. Como estes valores se repetem infinitamente (soma de n = 5 e n = 7, n = 6 e n = 8, e assim por diante), podemos concluir que a soma é igual a 0.