Question

Calcule o valor da integral usando o método da substituição trigonométrica

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Integral Indefinida ( Substituição trigonometrica )

Dada a integral :

$~~~~~~~ \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+49}}dx$

● Para este tipo de integral usa-se a substituição a seguir :

$~~~~~~~~\sqrt{u^2+a^2} ~~;~~ u~=~a*\tan(\theta)$

Para o nosso caso vamos ter que :

$~~~~~ x ~=~7*\tan(\theta) ~,~dx~=~7\sec^2(\theta)d\theta$

● Reescrevendo a integral vamos ter :

$~~~~~~~\iff ~~~\displaystyle\int \dfrac{7\sec^2(\theta) d\theta }{\sqrt{ \left (7\tan(\theta)\right)^2+49 }}~=~\displaystyle\int\dfrac{7\sec^2(\theta) d\theta}{\sqrt{49\tan^2(\theta)+49}}$

$~~~~~\iff ~=~\displaystyle\int\dfrac{7\sec^2(\theta) d\theta }{\sqrt{49\left(\tan^2(x)+1\right)}}$

● Vamos cá lembrar um pouco da relação Fundamental da trigonometria que diz:

$~~~~~~\boxed{ \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)~=~1 }$

Vamos dividir ambos membros pelo $\cos^2(\theta)$ :

$~~~~\iff ~ \dfrac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}+1~=~\dfrac{1}{\cos^2(\theta)}$

$~~~~\iff \boxed{ \pink{ \sec^2(\theta)~=~\tan^2(\theta)+1 } }$

● Efe[c]tuando a Substituição podemos ter :

$~~~~~~\iff ~=~\displaystyle\int\dfrac{\cancel{7}\sec^2(\theta) d\theta}{\cancel{7}\sqrt{ \sec^2(\theta)}}$

$~~~~~\iff ~=~\displaystyle\int\dfrac{\sec^2(\theta) d\theta}{\sqrt{\sec^2(\theta)}}~=~\displaystyle\int\dfrac{\sec^2(\theta) d\theta}{\sec(\theta)}$

$~~~~~\iff ~=~\displaystyle\int \sec(\theta) d\theta$

$~~~~~\iff~=~ \ln\left|~\sec(\theta)+\tan(\theta)\right|$

● Lembremos que $x~=~7\tan(\theta)$ então :

$~~~ \theta~=~\arctg\left(\dfrac{x}{7}\right)$

Automaticamente :

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+49 }}dx~=~\ln\Big| \sec\left(\arctg(x)\right)+\tan\left(\arctg(x)\right)\Big| + k,com~k\in\mathbb{R}$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE!)

● UEM (MOZAMBIQUE) - DMI