Question

⚠️Calcule o valor da integral indefinida usando o método para decompor em frações parciais⚠️

o teorema esta na imagem

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{ {x}^{3} + x + 1 }{ {x}^{2} - 1 } dx$

Primeiramente devemos fazer a divisão polinomial da função do numerador, pela do denominador, pois se aplicarmos o método logo de cara, chegaremos em uma inconsistência, mais a frente. A divisão desses dois polinômios resultado na seguinte expressão:

$\frac{x {}^{3} + x + 1}{x {}^{2} - 1} = x + \frac{2x + 1}{x {}^{2} - 1}$

Substituindo essa informação na integral:

$\int x + \frac{ 2x + 1}{x {}^{2} - 1 } dx \: \: \to \: \: \int x \: dx + \int \frac{2x + 1}{x {}^{2} - 1 } dx \\ \\ \frac{x {}^{2} }{2} + \int \frac{2x + 1}{x {}^{2} - 1} dx$

Nessa outra integral, devemos aplicar o método das frações parciais, digamos que:

$\frac{2x + 1}{x {}^{2} - 1 } = \frac{2x + 1}{(x + 1).(x - 1)} \\ \\ \frac{2x + 1}{(x + 1).(x - 1)} = \frac{A}{(x + 1)} + \frac{B}{(x - 1)} \\ \\ \frac{2x + 1}{ \cancel{(x + 1).(x - 1)} } = \frac{A(x - 1) + B(x + 1)}{ \cancel{(x + 1).(x - 1)}} \\ \\ 2x + 1 = Ax - A + Bx + B$

Agora vamos lembrar da igualdade polinomial, ou seja, os termos com "x" se igualar com os que tem "x" e os que não possuem se igualam entre si, isto é, há a formação de um sistema:

$\begin{cases} A + B =2 \\ - A + B = 1 \end{cases} \\ \\ A + B - A + B = 2 + 1 \\ 2B = 3 \\ B = \frac{3}{2} \\ \\ A + B = 2 \\ A + \frac{3}{2} = 2 \\ A = 2 - \frac{3}{2} \\ A = \frac{1}{2}$

Portanto com esses valores podemos dizer que:

$\int \frac{2x + 1}{ {x}^{2} - 1} = \int \frac{ \frac{1}{2} }{(x + 1)} + \frac{ \frac{3}{2} }{(x - 1)} dx \\ \\ \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x + 1)} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x - 1)} dx$

Essas integrais são conhecidas e possuem como resultado a função logarítmo natural:

$\frac{1}{2} \ln( |x + 1| ) + \frac{3}{2} \ln ( |x - 1| ) + k$

Agora vamos acrescentar aquele resultado obtido ali em cima, que é x²/2:

$\boxed{ \frac{x {}^{2} }{2} + \frac{1}{2} \ln( |x + 1| ) + \frac{3}{2} \ln( |x - 1| ) + k}$

Espero ter ajudado