Question

Calcule o valor da integral de pi ate 0 e de 0 até 1(r^3 x cos de teta x seno de teta) x r dr dteta

Answer 1

$\int\limits^0_ \pi { \int\limits^1_0 {r^3cos \beta sen \beta r} \, dr } \, d \beta$

Resolvemos primeiro a integral interna, que está sendo integrada em dr. Assim, os termos que contem teta (troquei por beta porque o app não tem teta kk), serão tomadas como constantes:

$\int\limits^1_0 {r^3cos \beta sen \beta r} \, dr\\ \\ \int\limits^1_0 {r^4cos \beta sen \beta} \, dr\\ \\ cos \beta sen \beta.\int\limits^1_0 {r^4} \, dr\\ \\ cos \beta sen \beta. \frac{r^5}{5} (0 =\ \textgreater \ 1) \\ \\ cos \beta sen \beta.(0 - \frac{1}{5} ) \\ \\ \boxed{- \frac{1}{5}cos \beta sen \beta}$

Agora integramos em d(teta) (no nosso caso d(beta))

$\int\limits^0_ \pi {- \frac{1}{5}cos \beta sen \beta} \, d \beta = - \frac{1}{5} \int\limits^0_ \pi {cos \beta sen \beta} \, d \beta$

Vamos usar o método da substituição:

$u = sen \beta \\ \\ du = cos \beta d \beta$

Substituindo na integral:

$- \frac{1}{5} \int\limits^0_ \pi {cos \beta sen \beta} \, d \beta = - \frac{1}{5} \int\limits^0_ \pi {u} \, du \\ \\ =- \frac{1}{5} . \frac{u^2}{2} \\ \\ =- \frac{1}{5} . \frac{sen^2 \beta }{2} = -\frac{sen^2 \beta }{10}$

Calculando agora os limites (de pi até 0)

$= ( -\frac{sen^2 \pi }{10})- ( -\frac{sen^2 .0 }{10}) \\ \\ = 0 - 0 = 0$

Portanto:

$\boxed{\boxed{\int\limits^0_ \pi { \int\limits^1_0 {r^3cos \beta sen \beta r} \, dr } \, d \beta = 0}}$