Question

calcule o valor da integral de 0 até pi integral de 0 até 1 (r^3-cos^2 0 sen0)*r drd0

Answer 1

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{1} (r^3-cos^2\theta sen~\theta)r~~drd\theta$

Podemos fazer uma simplificação na função se multiplicarmos tudo que estar entre o parênteses pelo r .

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{1}r^4-rcos^2\theta sen~\theta~~drd\theta$

Primeiramente integramos em relação a r, daí vem que

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}~\frac{r^5}{5} -\frac{r^2}{2} cos^2\theta sen~\theta~\big|_{0}^{1}~~d\theta\\ \\ \\ \displaystyle\int_{0}^{\pi}~\frac{1}{5} -\frac{1}{2} cos^2\theta sen~\theta~~d\theta$

Ficamos com uma integral mais simples de ser calculada porque agora temos uma integral de uma variável. Logo,

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}~\frac{1}{5} -\frac{1}{2} cos^2\theta sen~\theta~~d\theta\\ \\ \\ \displaystyle\int_{0}^{\pi}~\frac{1}{5}~~d\theta-\frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi}~cos^2\theta sen~\theta~~d\theta\\ \\ \\ \displaystyle\int_{0}^{\pi}~\frac{1}{5}~~d\theta=\frac{\theta}{5}~\big|_{0}^{\pi}\\ \\ \\ \frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi}~cos^2\theta sen~\theta~~d\theta\\ \\ \\ \boxed{u=cos~\theta~~~~~~~~~du=-sen~\theta~d\theta}$

$\frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi}~cos^2\theta sen~\theta~~d\theta=\frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} -u^2~du=-\frac{1}{6} u^3=-\frac{cos^3\theta}{6}~\big|_{0}^{\pi}$

Agora é só aplicar os limites de integração e encontrar o valor da integral.

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}~\frac{1}{5} -\frac{1}{2} cos^2\theta sen~\theta~~d\theta~=~\frac{\theta}{5}+\frac{(cos~\theta)^3}{6} \big|_{0}^{\pi}\\ \\ \\=\dfrac{\pi}{5} -\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} \\ \\ \\ = \dfrac{\pi}{5}-\dfrac{2}{6} \\ \\ \\ =\dfrac{6\pi-10}{30} \\ \\ \\ \bf=\dfrac{3\pi-5}{15}$

Answer 2

Resposta:

Esta errada.

Resposta Certa é: 2/15

Explicação passo-a-passo:

CORRIGIDO pelo AVA