Question

Calcule o valor da cot Θ na ilustração a seguir
(imagem em anexo)

Alguém aí me ajuda nessa?
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Answer 1

Vamos relembrar Arcos soma/subtração da tangente.

Soma :

$\fbox{\displaystyle Tg(\theta + \alpha ) = \frac{Tg(\theta) + Tg(\alpha)}{1-Tg(\theta).Tg(\alpha)} }$

Subtração :

$\fbox{\displaystyle Tg(\theta -\alpha ) = \frac{Tg(\theta) - Tg(\alpha)}{1+Tg(\theta).Tg(\alpha)} }$

Sabendo disso vamos para a questão.

A questão pede a $Cotg(\theta)$ e sabemos que :

$\fbox{\displaystyle Cotg(\theta) = \frac{1}{Tg(\theta)} }$

Então, seria muito bom se pudéssemos relacionar a $Tg(\theta)$ de alguma forma. E é isso que faremos, vamos fazer o arco soma de :

$\fbox{\displaystyle Tg(45 + \theta ) }$

abrindo o arco soma, fica assim :

$\fbox{\displaystyle Tg(45 + \theta ) = \frac{Tg(45) + Tg(\theta)}{1-Tg(45).Tg(\theta)} }$

Porém tangente é Cateto oposto sobre cateto adjacente, então :

$\fbox{\displaystyle \frac{BD}{AB} = \frac{Tg(45) + Tg(\theta)}{1-Tg(45).Tg(\theta)} }$

sabendo que  $Tg(45) = 1$, $BD = 2+1 \to BD = 3$, então só precisamos achar AB.

Vamos fazer o seguinte, aplica Tangente no triângulo ABC, ficando assim :

${\displaystyle Tg(45) = \frac{2}{AB} \to 1 = \frac{2}{AB} \to AB = \frac{2}{1}$

Pronto, agora que sabemos todos as incógnitas, vamos voltar no  Arco soma da tangente e substituir os valores.

ou seja,

$\fbox{\displaystyle \frac{3}{2} = \frac{1 + Tg(\theta)}{1-1.Tg(\theta)} }$

multiplicando  cruzado :

$\fbox{\displaystyle 3.(1-Tg(\theta)) = 2.(1+Tg(\theta) ) \to 3 - 3.Tg(\theta) = 2 + 2.Tg(\theta) }$

$\fbox{\displaystyle \to 3 - 3.Tg(\theta) = 2 + 2.Tg(\theta) \to 3 - 2 = 2Tg(\theta) + 3Tg(\theta) \to 1 = 5.Tg(\theta) }$

$\fbox{\displaystyle 1 = 5.Tg(\theta) \to Tg(\theta) = \frac{1}{5 } }$

Como a questão pede Cotangente, então :

$\fbox{\displaystyle Cotg(\theta) = \frac{1}{Tg(\theta)} }$

substituindo o valor da $Tg(\theta)$ :

$\fbox{\displaystyle Cotg(\theta) = \frac{1}{\frac{1}{5}} \to Ctg(\theta) = 5 }$