Matemática, perguntado por fernandofelipe38, 8 meses atrás

Calcule o valor da área dada pela seguinte integral:​

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
3

Temos a seguinte integral:

\int\limits_{0}^{7\pi} [ \sin(x )] {}^{2}  +  [ \cos(x) ] {}^{2}  \: dx \\

Para resolver essa integral, basta lembrarmos da relação fundamental da trigonometria:

 \boxed{  [ \sin(x) ] {}^{2}  +  [ \cos(x) ]  {}^{2} = 1 }

Portanto, vamos substituir esses dado:

 \int  [ \sin(x) ] {}^{2}  +  [ \cos(x) ] {}^{2}  \: dx \to  \int 1dx \\  \\  \int 1dx \to \boxed{ x + k, \: k\in\mathbb{R}}

Agora é só aplicar o teorema da variação (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC), logo:

 x + k   \bigg |_{0}^{7\pi} \to 7\pi + k - (0 + k) \\  \\ 7\pi + k - 0 - k \to  \boxed{7\pi \:  \: ou \:  \: 21,98 }

Outra forma de fazer é utilizar aqueles dados referentes a sen²(x) e cos²(x):

  [ \sin (x)] {}^{2}  \to   \frac{1 -  \cos(2x)}{2}  \:  \: e \:  \:   [ \cos(x )] {}^{2}  \to  \frac{1 +  \cos(2x)}{2}  \\

Substituindo essas informações na integral, teremos que:

\int\limits_{0}^{7\pi} \frac{1 -  \cos(2x)}{2}  +  \frac{1 +  \cos(2x)}{2}  \: dx \\

Aplicando a integral nas duas funções (nesse momento vamos esquecer os limites):

 \int  \frac{1 -  \cos(2x)}{2} dx +  \frac{1 +  \cos(2x)}{2}dx \\  \\  \int  \frac{1}{2} .(1 -  \cos(2x)) \: dx +  \int  \frac{1}{2} .(1 +  \cos(2x) )\: dx \\  \\  \frac{1}{2}  \int 1 -  \cos(2x) \: dx +  \frac{1}{2} \int1 +  \cos(2x) \: dx \\  \\  \frac{1}{2} . \left(x  -   \frac{ \sin(2x)}{2} \right) +  \frac{1}{2} . \left(x +  \frac{ \sin(2x)}{2}  \right) \\  \\  \frac{x}{2}  -  \cancel{ \frac{ \sin(2x)}{4}}  +  \frac{x}{2}  + \cancel{  \frac{ \sin(2x)}{4} } \\  \\  \frac{x}{2}  +  \frac{x}{2}   \longrightarrow  \boxed{x + k,\: k\in\mathbb{R}}

Observe que o resultado foi o mesmo obtido ali em cima.

Espero ter ajudado

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