Question

Calcule o trabalho realizado pela força→f ao logo do caminho C dado, onde C é a imagem da curva F : [0,2π] → R³ , F(t) = (cos( t), sen( t), 2t).

Answer 1

Resposta:

-π

Explicação passo-a-passo:

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Seja $\vec{\mathsf{F}}\mathsf{(x,y,z)}$ um campo vetorial e seja C uma curva de equações paramétricas: $\vec{\mathsf{r}}\mathsf{(t)=(x(t),y(t),z(t))\quad a \leq t \leq b}$

então a integral de linha de F sobre C é dada por:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \int_C}\vec{\mathsf{F}}\cdot \mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\displaystyle \mathsf{\int_a^b}\vec{\mathsf{F}}\mathsf{(}\vec{\mathsf{r}}\mathsf{(t))}\cdot\vec{\mathsf{r'}}\mathsf{(t)\,dt}}$

onde $\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\vec{\mathsf{r'}}\mathsf{(t)\,dt}$

Resolução:

1. Tome a derivada da curva C:

$\vec{\mathsf{r'}}\mathsf{(t)=(-sen\,t,cos\,t,2)}$

2. Substitua r(t) na função vetorial F:

$\vec{\mathsf{f}}(\vec{\mathsf{r}}\mathsf{(t))=(y(t),z(t),x(t))=(sen\,t,2t,cos\,t)}$

3. Utilize a definição para calcular a integral de linha:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \int_C}\vec{\mathsf{F}}\cdot \mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\displaystyle \mathsf{\int_a^b}\vec{\mathsf{F}}\mathsf{(}\vec{\mathsf{r}}\mathsf{(t))}\cdot\vec{\mathsf{r'}}\mathsf{(t)\,dt}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}-sin^2\,t+2t\,cos\,t+2\,cos\,t\,dt}\\\\=\mathsf{\displaystyle -\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1-cos\,2t)\,dt+2\int_0^{2\pi}t\,cos\,t\,dt+2\int_0^{2\pi}cos\,t\,dt}$

$=\mathbb{I}_1+\mathbb{I}_2+\mathbb{I}_3$

4. A última integral vale zero (veja primeira figura abaixo). Então basta calcularmos as outras duas.

5. Calcule a primeira integral:

$\mathbb{I}_1=\mathsf{\displaystyle -\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1-cos\,2t)\,dt}\\\\=\mathsf{-\dfrac{1}{2}\bigg[t-\dfrac{sen\,2t}{2}\bigg]_0^{2\pi}=-\dfrac{1}{2}(2\pi-0)=-\dfrac{2\pi}{2}}\\\\\therefore \mathbb{I}_1=\mathsf{-\pi}$

6. Para a segunda integral vamos utilizar a técnica de integração por partes:

$\mathbb{I}_2=\mathsf{\displaystyle2\int_0^{2\pi}t\,cos\,t\,dt}$

$\mathsf{u=t}\qquad \quad\mathsf{dv=cos\,t}\\\\\mathsf{du=dt}\qquad \mathsf{v=sen\,t}$

$\mathbb{I}_2=\mathsf{\displaystyle2\int_0^{2\pi}t\,cos\,t\,dt=2\cdot\bigg(t\,sen\,t\bigg|_0^{2\pi}-\displaystyle \int_0^{2\pi}sen\,t\,dt\bigg)=2\cdot (2\pi\,sen\,(2\pi)-0-0)}$

$=\mathsf{2\cdot0=0}\\\\\therefore \mathbb{I}_2=\mathsf{0}}$

7. Some os resultados:

$\mathbb{I}=\mathbb{I}_1+\mathbb{I}_2+\mathbb{I}_3\\\\\mathbb{I}=\mathsf{-\pi+0+0}\\\\\therefore \mathbb{I}=\mathsf{-\pi}$

Conclusão: o valor do trabalho realizado pela força é -π.

Bons estudos! :D

Equipe Brainly