Question

Calcule o trabalho realizado pela força→f ao logo do caminho C dado, onde C é a poligonal que une os pontos A = (0,0,0), B = (0,1,0), C = (0,1,1) e D = (1,1,1), no sentido de A para D.

Answer 1

Resposta:

3/2 J

Explicação passo-a-passo:

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Seja f uma função vetorial e seja C uma curva suave simples com equação paramétrica r = r(t), então a integral de linha de f sobre C é:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \int_C}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\mathsf{\displaystyle \int_a^b}\vec{\mathsf{f}}\,[\,\vec{\mathsf{r}}\mathsf{(t)]}\cdot \vec{\mathsf{r}}\,'\mathsf{(t)\,dt}}}$

Suponha que a curva C pode ser dividida em caminhos menores C₁, C₂ e C₃, ligados entre si; então a integral de linha de f sobre C é:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \int_C}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\displaystyle \int_{\mathsf{C_1}}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}+\int_{\mathsf{C_2}}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}+\int_{\mathsf{C_3}}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}}$

Na figura abaixo estão os pontos A, B, C e D e os caminhos de integração C₁, C₂ e C₃. Lembre-se que f(x,y,z) = (x,0,2z). Vamos calcular cada integral de linha (trabalho) separadamente.

• Trabalho ao longo de C₁:

1. Parametrização:

$\mathsf{C_1: A\rightarrow B \qquad(0,0,0)\rightarrow(0,1,0)}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)r_o+t\,r_1\qquad t\in[0,1]}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)\,(0,0,0)+t\,(0,1,0)}\\\\\therefore \mathsf{r(t)=(0,t,0)}$

2. Derivada:

$\mathsf{r'(t)=(0,1,0)}$

3. Substituindo na integral original:

$\mathsf{\displaystyle \int_{C_1}}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\displaystyle \mathsf{\int_0^1{(0,0,0)\cdot(0,1,0)\,dt=0}}$

• Trabalho ao longo de C₂:

1. Parametrização:

$\mathsf{C_2: B\rightarrow C \qquad(0,1,0)\rightarrow(0,1,1)}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)r_o+t\,r_1\qquad t\in[0,1]}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)\,(0,1,0)+t\,(0,1,1)}\\\\\therefore \mathsf{r(t)=(0,1,t)}$

2. Derivada:

$\mathsf{r'(t)=(0,0,1)}$

3. Substituindo na integral original:

$\mathsf{\displaystyle \int_{C_2}}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\displaystyle \mathsf{\int_0^1{(0,0,2t)\cdot(0,0,1)\,dt}}\\\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^12t\,dt=2\dfrac{t^2}{2}\bigg|_0^1=1-0}\\\\=\mathsf{1}$

• Trabalho ao longo de C₃:

1. Parametrização:

$\mathsf{C_3: C\rightarrow D \qquad(0,1,1)\rightarrow(1,1,1)}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)r_o+t\,r_1\qquad t\in[0,1]}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)\,(0,1,1)+t\,(1,1,1)}\\\\\therefore \mathsf{r(t)=(t,1,1)}$

2. Derivada:

$\mathsf{r'(t)=(1,0,0)}$

3. Substituindo na integral original:

$\mathsf{\displaystyle \int_{C_3}}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\displaystyle \mathsf{\int_0^1{(t,0,2)\cdot(1,0,0)\,dt}}\\\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^1t\,dt=\dfrac{t^2}{2}\bigg|_0^1}\\\\=\mathsf{\dfrac{1}{2}}$

Com os resultados anteriores, obtemos o trabalho de f ao longo de C:

$\mathsf{\displaystyle \int_{C}}\vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\mathsf{0+1+\dfrac{1}{2}}}\\\\=\mathsf{\dfrac{3}{2}}$

Conclusão: o trabalho realizado pela força é 3/2 J.

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Integral de linha

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