Question

calcule o termo geral da sequência e mostre que é uma sequência monótona decrescente.​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre sequências numéricas.

Seja a sequência $x_n=\left(\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{9},~\dfrac{1}{27},~\dfrac{1}{81},~\dfrac{1}{243},~\cdots\right)$.

Primeiro, observe que os termos desta sequência estão em progressão geométrica, isto é, cada termo é igual ao produto do termo imediatamente anterior por um fator, denominado razão da progressão: $a_k=a_{k-1}\cdot q$.

Desta recorrência, facilmente podemos calcular o valor de $q$ escolhendo-se dois elementos consecutivos da sequência para $k\geq 2$:

$a_2=a_1\cdot q\\\\\\ \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}\cdot q\\\\\\ \Rightarrow q=\dfrac{1}{3}$

O termo geral de uma sequência cujos termos estão em progressão geométrica pode ser calculado pela fórmula $a_n=a_k\cdot q^{n-k},~n\geq k$.

Assim, substituindo o valor que encontramos, teremos:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\\\ a_n=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\\\\\\ a_n=\dfrac{1}{3^n}$

Por fim, para demonstrarmos que esta sequência é monótona e decrescente, tome $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(n)=a_n=\dfrac{1}{3^n}$.

Calculando a derivada da função, teremos:

$(f(n))'=\left(\dfrac{1}{3^n}\right)'\\\\\\f'(n)=\dfrac{-(3^n)'}{(3^n)^2}\\\\\\ f'(n)=\dfrac{-3^n\cdot \ln(3)}{3^{2n}}\\\\\\ f'(n)=-3^{-n}\cdot \ln(3)$

Observe que $f'(n)<0,~\forall{n}\in\mathbb{N}$, então conclui-se que $f(n)$ é estritamente decrescente em todo seu domínio, ou seja, diz-se que a função é monótona e decrescente ou não-crescente.