Question

Calcule o termo em x^5 no desenvolvimento de (2x^2 - 1/x^3)^5.

Answer 1

Vamos resolver essa questão de uma forma diferenciada, ou seja, através da fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton, dada por:

• Explicação:

$\boxed{ \sf (a + b) {}^{n} = \sum_{p = 0} ^{n} {}^{n} C_{p}.a {}^{n - p} .b {}^{p} }$

Onde:

• (n) representa o expoente do binômio;
• (p) representa a "posição";
• (Sigma) representa o somatório dos números binomiais;
• (a e b) representam respectivamente o primeiro termo e segundo termo do binômio.

• Cálculos:

$\sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{ 5} = \binom{5}{0} .(2x {}^{2} ) {}^{5} .( \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{0} - \binom{5}{1} .(2x {}^{2} ) {}^{4} .( \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{1} + \binom{5}{2} .(2x {}^{2} ) {}^{3} .( \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{2} - \binom{5}{3} .(2x {}^{2} )^{2} .( \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{3} + \binom{5}{4} .(2x {}^{2}) {}^{1} .( \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{4} - \binom{5}{5} .(2x {}^{2} ) {}^{0} .( \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} \\ \\ \sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} = 1.(2 {}^{5} .x {}^{2.5} ).1 - 5.(2 {}^{4} .x {}^{2.4} ).( \frac{1}{x {}^{3} } ) + 10.(2 {}^{3} .x {}^{2.3} ).( \frac{1 {}^{2} }{x {}^{3.2} } ) - 10.(2 {}^{2} .x {}^{2.2} ).( \frac{1 {}^{3} }{x {}^{3.3} } ) + 5.(2 {}^{1} .x {}^{2.1} ).( \frac{1 {}^{4} }{x {}^{3.4} } ) - 1.(2 {}^{0} .x {}^{2.0} ).( \frac{1 {}^{5} }{x {}^{3.5}} ) \\ \\ \sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} = 1.32.x {}^{10} .1 - 5.16. {x}^{8} . \frac{1}{x {}^{3} } + 10.8.x {}^{6} . \frac{1}{x {}^{6} } - 10.4.x {}^{4} . \frac{1}{x {}^{9} } + 5.2.x {}^{2} . \frac{1}{x {}^{12} } - 1.1.1. \frac{1}{x {}^{15} } ) \\ \\ \sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} = 32x {}^{10} - \frac{80x {}^{8} }{x {}^{3} } + \frac{80x {}^{6} }{x {}^{6} } - \frac{40x {}^{4} }{x {}^{9} } + \frac{10x {}^{2} }{x {}^{12} } - \frac{1}{x{}^{15} } \\ \\ \sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} = 32x {}^{10} - 80x {}^{8 - 3} + 80x {}^{6 - 6} - 40x {}^{4 - 9} + 10x {}^{2 - 12} - \frac{1}{x {}^{15} } \\ \\ \sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} = 32x {}^{10} - 80x {}^{5} + 80x {}^{0} - 40x {}^{ - 5} + 10x {}^{ - 10} - \frac{1}{x {}^{15} } \\ \\ \sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} = 32x {}^{10} - 80x {}^{5 } + 80 - 40. \frac{1}{x {}^{5} } + 10. \frac{1}{x {}^{10} } - \frac{1}{x {}^{15} } \\ \\ \boxed{\sf (2x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{3} } ) {}^{5} = 32x {}^{10} \boxed{ \sf - 80x {}^{5}} + 80 - \frac{40}{x {}^{5} } + \frac{10}{x {}^{10} } - \frac{1}{x {}^{15} } }$

Portanto temos que o termo em x⁵ é -80x⁵.

Agora vamos entender como se deu os cálculos dos números binomiais:

• Primeiro número binomial •

$\sf \binom{5}{0}=\frac{5!}{0!(5-0)!}=\frac{5!}{0!5!}=\frac{\cancel{5.4.3.2.1}}{1.\cancel{5.4.3.2.1}}=\frac{1}{1}=1$

• Segundo número binomial •

$\sf \binom{5}{1}=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{1!4!}=\frac{5.\cancel4!}{1!.\cancel4!}=\frac{5}{1.1}=\frac{5}{1}=5$

• Terceiro número binomial •

$\sf \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5.</p><p>4.\cancel3!}{2!\cancel3!}=\frac{20}{2.1}=\frac{20}{2}=10$

• Quarto número binomial •

$\sf \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{5.</p><p>4.\cancel3!}{2!\cancel3!}=\frac{20}{2.1}=\frac{20}{2}=10$

• Quinto número binomial •

$\sf \binom{5}{4}=\frac{5!}{4!(5-4)!}=\frac{5!}{4!1!}=\frac{5.</p><p>\cancel4!}{1!\cancel4!}=\frac{5}{1.1}=\frac{5}{1}=5$

• Sexto número binomial •

$\sf \binom{5}{5}=\frac{5!}{5!(5-5)!}=\frac{5!}{5!0!}=\frac{5!}{5!1}=\frac{\cancel{5.4.3.2.1}}{\cancel{5.4.3.2.1}.1}=\frac{1}{1}=1$

Espero ter ajudado