Question

Calcule o termo de ordem 2n na sequência de Fibonacci, com o n definido acima de acordo com o seu RA. 4


"Os gregos começaram a desenhar o retângulo de ouro como um padrão de beleza. Eles faziam a divisão entre os lados do retângulo criando uma proporção em suas construções e obras de arte. Podemos citar o Pathernon que foi construído na proporção do retângulo áureo que forma a face central e lateral, nele a profundidade dividia pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618.

Esse padrão de construção prevaleceu por milênios. Os Egípcios também fizeram o mesmo com as pirâmides, cada pedra era 1,61 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da terceira fileira e assim por diante.

O filme "O Código Da Vinci" foi baseado no livro de Dan Brown onde no capítulo 20 ele comenta sobre a proporção do retângulo de ouro. Essa proporção é chamada de proporção áurea. "


3. Sejam a e b comprimento e a largura de um retângulo áureo. A divisão a/b é chamada proporção de ouro se:
.

​Use equação do segundo grau e obtenha um valor irracional para a proporção áurea a/b. Apresente a resolução completa.


4. Apresente outros exemplos onde essa proporção pode ser encontrada, inserindo no mínimo duas e até quatro imagens

Answer 1

De acordo com a Sequência de Fibonacci temos:

1) O oitavo termo vale 21;

2) A razão áurea é uma constante matemática irracional que vale $\phi\approx 1,618$.

3) O valor exato da razão áurea é:

$\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

4) As imagens relacionadas aos exemplos encontram-se abaixo.

Sequências Numéricas

A famosa sequência de Fibonacci é definida, recursivamente da seguinte forma: "cada termo é a igual a soma dos dois termos anteriores".

$\begin{cases}f_{n+2}=f_{n}+f_{n+1}\\\\f_1=1\\\\f_2=1\\\end{cases}$

• Questão 1: Para calcularmos o termo de ordem $2n$, tal que $n=4$ vamos calcular o 8º termo da sequência de Fibonacci obedecendo a sua lei de recorrência.

$f_3=f_1+f_2\Rightarrow f_3 =2\\f_4=f_2+f_3\Rightarrow f_4 =3\\f_5=f_3+f_4\Rightarrow f_5 =5\\f_6=f_4+f_5\Rightarrow f_6 =8\\f_7=f_5+f_6\Rightarrow f_7 =13\\f_8=f_6+f_7\Rightarrow f_8 =21$

• Questão 2: A proporção áurea ou também conhecido como número de ouro é a razão obtida pela divisão de um segmento "a+b" pelo maior dos segmentos, em nosso caso, será "a".

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}=\phi$

Tal número $\phi$ é um número irracional e vale, aproximadamente $1,618\ldots$.

• Questão 3: A razão "a/b" será chamada de razão de ouro caso seja igual a $\phi\approx 1,618$ e utilizando a proporção apresentada na questão 2 teremos:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}\\\\a^2-ab-b^2=0$

Como "b" é a medida de um segmento, este deve ser diferente de zero, podemos dividir toda a equação por "b²".

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\dfrac{a}{b}-1=0$

Fazendo a mudança de variável a/b = Ф.

$\phi^2 -\phi-1=0\\\\\Delta=5\\\\\phi=\dfrac{1\pm \sqrt {5}}{2}$

Como a razão é um número positivo temos:

$\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

• Questão 4: A razão áurea pode ser encontrada na natureza como na concha dos caracóis, nas colmeias, crescimento da população de coelhos, diversas flores e folhas, também na arte como a Monalisa, O Homem Vitruviano de Leonardo Da Vinci.

Para saber mais sobre Sequências Numéricas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51113184

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