Question

Calcule o somatório

     $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^4+2k^3+2k-1)(k!)^2$

e expresse a fórmula fechada em função de  n.

Answer 1

Queremos encontrar uma fórmula fechada em n para o seguinte somatório:

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}(k^4+2k^3+2k-1)(k!)^2$

Para isso, vamos manipular o polinômio de quarto grau do termo geral acima:

$k^4+2k^3+2k-1=k^4+(k^3+k^3)+(k^2-k^2)+(k+k)-1\\\\ k^4+2k^3+2k-1=(k^4+k^3)+(k^3+k^2)-(k^2-k)+(k-1)\\\\ k^4+2k^3+2k-1=[k^3(k+1)+k^2(k+1)]+[-k(k-1)+(k-1)]\\\\ k^4+2k^3+2k-1=(k^3+k^2)(k+1)-(k-1)(k-1)\\\\ k^4+2k^3+2k-1=k^2(k+1)(k+1)-(k-1)^2\\\\ k^4+2k^3+2k-1=k^2(k+1)^2-(k-1)^2$

Agora, vamos substituir em S:

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}(k^4+2k^3+2k-1)(k!)^2\\\\ S=\sum_{k=1}^{n}(k^2(k+1)^2-(k-1)^2)(k!)^2\\\\ S=\sum_{k=1}^{n}(k^2(k+1)^2(k!)^2-(k-1)^2(k!)^2)\\\\ S=\sum_{k=1}^{n}(k^2((k+1)\cdot(k!))^2-(k-1)^2(k!)^2)\\\\ S=\sum_{k=1}^{n}(k^2((k+1)!)^2-(k-1)^2(k!)^2)\\\\ S=\sum_{k=1}^{n}[(k(k+1)!)^2-((k-1)k!)^2]$

Note que agora obtivemos uma soma telescópica. Para explicitarmos isso, considere:

$f(k)=(k(k+1)!)^2$

Então, fazedo a troca $k\to k-1$:

$f(k-1)=((k-1)((k-1)+1)!)^2\Longrightarrow f(k-1)=((k-1)k!)^2$

Assim, podemos escrever:

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}[f(k)-f(k-1)]$

Que agora, nitidamente, é uma soma telescópica. Desenvolvendo-a:

$S=[\diagup\!\!\!\!\! f(1)-f(0)]+[\diagup\!\!\!\!\! f(2)-\diagup\!\!\!\!\! f(1)]+...+[f(n)-\diagup\!\!\!\!\! f(n-1)]\\\\ S=f(n)-f(0)\\\\ S=(n(n+1)!)^2-(0\cdot (0+1)!)^2=(n(n+1)!)^2-\underbrace{(0\cdot 1!)^2}_{=0}\\\\ S=n^2((n+1)!)^2$

Portanto, a resposta final é:

$\displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{n}(k^4+2k^3+2k-1)(k!)^2=n^2((n+1)!)^2}$