Question

Calcule o somatório de

[2^(k + 1)] / [3^(2^k) + 1]

com k de 0 a n

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{2^{k+1}}{3^{(2^k)}+1}}$

e expresse a fórmula fechada em função de n

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Dica: Faça análise da sequência das somas parciais. Ao encontrar um padrão, deduza uma possível fórmula e verifique se está correta (usando indução, por exemplo).

Answer 1

Olá Lukyo.




Verificando o resultado da expressão para alguns valores de n

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^0\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\\\\mathsf{\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^1\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{9}{10}}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^2\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{409}{410}}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^3\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{1~345~209}{1~345~210}}$

Analisando o comportamento do somatório para alguns valores de n, é notável que a diferença entre o denominador e o numerador é de 1 unidade. Também da para notar que o denominador só possui um único fator 2 para quaisquer valores de n. Tendo em conta que o numerador é uma potência de 2, então será possível fazer uma simplificação com o fator 2 (maior fator comum entre o numerador e o denominador).

Deduzir isso me permite criar uma expressão que represente o mmc das somas dessas expressões.

$\mathsf{a_0=2}\\\\\mathsf{a_{n+1}=a_n\cdot\Big(\dfrac{3^{2^{n+1}}+1}{2}\Big)~~(i)}$

Através da fórmula de recorrência acima teríamos o denominador e tirando 1 unidade teríamos o numerador.

A partir de uma dedução chegamos a uma hipótese que pode ser o denominador e o numerador do somatório, mas ainda com essas informações eu não consigo achar a sua fórmula fechada. Vamos então buscar uma outra relação que possa nos ajudar a encontrar sua fórmula fechada.

Vamos verificar o comportamento da expressão quando tiramos a diferença entre os denominadores de termos consecutivos.

$\mathsf{a_1-a_0=10-2=2\cdot2^2}\\\\\mathsf{a_2-a_1=410-10=2^2\cdot10^2}\\\\\mathsf{a_3-a_2=1~345~210-410=2^3\cdot410^2}$

Perceba que ao decompor convenientemente, a diferença entre os termos consecutivos é igual a uma potência de 2 vezes o quadrado do termo antecessor.

Isso me permite deduzir uma outra equação.

$\mathsf{a_{n+1}-a_n=2^{n+1}\cdot (a_n)^2}\\\\\\\mathsf{a_{n+1}=2^{n+1}\cdot(a_n)^2+a_n~~(ii)}$


Igualando as duas as duas equações

$\mathsf{2^{n+1}\cdot(a_n)^2+a_n=a_{n}\cdot\Big(\dfrac{3^{2^{n+1}}+1}{2}\Big)}$

Divida ambos os lados por $\mathsf{a_n}$

$\mathsf{2^{n+1}\cdot a_n+1=\Big(\dfrac{3^{2^{n+1}}+1}{2}\Big)}\\\\\\\mathsf{2^{n+1}\cdot a_n=\Big(\dfrac{3^{2^{n+1}}+1}{2}\Big)-1}$

Divida ambos os lados por $\mathsf{2^{n+1}}$

$\mathsf{a_n=\dfrac{3^{2^{n+1}}-1}{2^{n+2}}}$

Portanto, a fórmula deduzida é:

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{a_{n}-1}{a_n}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{\dfrac{3^{2^{n+1}}-1}{2^{n+2}}-1}{\dfrac{3^{2^{n+1}}-1}{2^{n+2}}}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\Big(\dfrac{3^{2^{n+1}}-2^{n+2}-1}{\diagup\!\!\!\!2^{n+2}}\Big)\cdot\Big(\dfrac{\diagup\!\!\!\!2^{n+2}}{3^{2^{n+1}}-1}\Big)}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{3^{2^{n+1}}-1}{3^{2^{n+1}}-1}-\dfrac{2^{n+2}}{3^{2^{n+1}}-1}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{2^{n+2}}{3^{2^{n+1}}-1}}$

Agora usaremos P.I.F para verificar se a expressão acima representa de fato a fórmula fechada da sequência dada.

Verificando se funciona na base para n = 0 

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{0}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{2^{0+2}}{3^{2^{0+1}}-1}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{0}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{4}{9-1}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{0}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{1}{2}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{0}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=\dfrac{1}{2}~~~\checkmark}$

Assumindo por H.I, que vale para n = t e com isso queremos demonstrar que servirá para n = t + 1

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{t}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{2^{t+2}}{3^{2^{t+1}}-1}}$

Some $\mathsf{\dfrac{2^{t+2}}{3^{2^{t+1}+1}}}$ em ambos os lados

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{2^{t+2}}{3^{2^{t+1}}-1}+\dfrac{2^{t+2}}{3^{2^{t+1}}+1}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{2^{t+2}\cdot(3^{2^{t+1}}+1)}{(3^{2^{t+1}})^2-1^2}+\dfrac{2^{t+2}\cdot(3^{2^{t+1}}-1)}{(3^{2^{t+1}})^2-1^2}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1+\dfrac{-2^{t+2}\cdot3^{2^{t+1}}-2^{t+2}+2^{t+2}\cdot3^{2^{t+1}}-2^{t+2}}{3^{2^{t+2}}-1}}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1+\dfrac{-\diagup\!\!\!\!\!2^{t+2}\cdot3^{2^{t+1}}-2^{t+2}+\diagup\!\!\!\!2^{t+2}\cdot3^{2^{t+1}}-2^{t+2}}{3^{2^{t+2}}-1}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1+\dfrac{-2\cdot2^{t+2}}{3^{2^{t+2}}-1}}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1}\dfrac{2^{k+1}}{3^{2^k}+1}=1-\dfrac{2^{t+3}}{3^{2^{t+2}}-1}}}$


Concluindo o que queríamos demonstrar

De fato a fórmula deduzida representa o termo geral da sequência dada


Dúvidas? comente.