Question

Calcule o sen 2x, dado cos x = 12/13. (x pertence ao primeiro quadrante)

Answer 1

Primeiramente vamos descobrir o seno através da relação fundamental da trigonometria, dada por:

$\star \: \sf \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1 \: \star$

Note que o cos(x) na fórmula está ao quadrado, então vamos ter que elevar o valor de cos(x) que temos ao quadrado também.

$\sf \sin {}^{2} (x) + ( \frac{12}{13} ) {}^{2} = 1 \\ \\ \sf \sin {}^{2} (x) + \frac{144}{169} = 1 \\ \\ \sf \sin {}^{2} (x) = 1 - \frac{144}{169} \\ \\ \sf \sin {}^{2} (x) = \frac{169 - 144}{169} \\ \\ \sf \sin {}^{2} (x) = \frac{25}{169} \\ \\ \sf \sin(x) = \pm \sqrt{ \frac{25}{169} } \\ \\ \sf \sin(x) = \pm \sf \frac{5}{13}$

A questão nos diz que o "x" está no primeiro quadrante, onde o seno é positivo, portanto vamos desprezar o valor negativo, sendo assim o seno igual a:

$\boxed{ \sf \sin(x) = \frac{5}{13} }$

Agora podemos fazer o cálculo de Sen (2x). Normalmente pensaríamos em multiplicar o seno de "x" por "2", mas isso está completamente errado, para e encontrar o Sen (2x) temos que jogar os dados na fórmula de arco duplo para o seno, como eu não lembro da fórmula, vamos chegar até ela partindo da fórmula da adição de arcos para o seno.

A fórmula de adição de arcos para o seno é dada por:

$\star \: \sf \sin(a + b) = \sin(a) . \cos(b) + \sin(b) . \cos(a) \: \star$

Note que podemos reescrever Sen (2x) dessa maneira:

$\sf \sin(2x) = \sin(x + x)$

Agora sim está bem semelhante a fórmula e podemos substituir esses dados.

$\sf \sin(x + x) = \sin(x) . \cos(x) + \sin(x) . \cos(x) \\ \star \: \sf\sin(2x) = 2. \sin(x) . \cos(x) \: \star$

Essa será a fórmula que usaremos para encontrar o Sen (2x).

Substituindo os dados:

$\sf \sin(2x) = 2. \sin(x) . \cos(x) \\ \\ \sf\sin(2x) = 2. \frac{5}{13} . \frac{12}{13} \\ \\ \sf \sin(2x) = \frac{2.5.12}{169} \\ \\ \boxed{ \sf \sin(2x) = \frac{120}{169} } \sf \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado