Question

Calcule o seguinte limite:

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2}{ \sqrt{x^2+12} - \sqrt{12} }$

*Resposta detalhada e com explicação.

Answer 1

$L= \lim_{n \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{x^2+12}-\sqrt{12}}\\\\ L= \lim_{n \to 0} \frac{x^2*(\sqrt{x^2+12}+\sqrt{12})}{(\sqrt{x^2+12}-\sqrt{12})*(\sqrt{x^2+12}+\sqrt{12})}\\\\L= \lim_{n \to 0} \frac{x^2*(\sqrt{x^2+12}+\sqrt{12})}{(\sqrt{x^2+12})^2-(\sqrt{12})^2}\\\\L= \lim_{n \to 0} \frac{x^2*(\sqrt{x^2+12}+\sqrt{12})}{(x^2+12)-(12)}\\\\L= \lim_{n \to 0} \frac{x^2*(\sqrt{x^2+12}+\sqrt{12})}{x^2}\\\\L= \lim_{n \to 0} \sqrt{x^2+12}+\sqrt{12}\\\\L=\sqrt{0^2+12}+\sqrt{12}\\\\L=2\sqrt{12}\\\\\boxed{L=4\sqrt{3}}$

Answer 2

Resolução da questão, vejamos:

Vamos primeiramente reescrever esse limite de forma a fatorar essa "√12" do denominador afim de simplificarmos nosso cálculo, vejamos:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{x^2}{ \sqrt{x^2+12} - \sqrt{12}}}~\equiv~\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{x^2}{ \sqrt{x^2+12} -2\sqrt{3}}}$

Pronto, agora como temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos então aplicar as regras de L'Hôspital, observe:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{\frac{d}{dx}~(x^2)}{\frac{d}{dx}~(\sqrt{x^2+12} -2\sqrt{3})}}}\\\\\\\\ \mathsf{\diaplaystyle\lim_{x~\to~0}~(2\sqrt{x^2+12})}}=\mathsf{4\sqrt{3}}}}\\\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\mathbf{~\therefore~\displaystyle\lim_{x~\to~0}~\dfrac{x^2}{ \sqrt{x^2+12} -2\sqrt{3}}=\mathbf{4\sqrt{3}}}}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}}$

Espero que te ajude (^.^)