Question

Calcule o seguinte limite:

lim 1-x-ln(x)
-----------
x^3-3x^2+2
x->1

Answer 1

$\lim_{x\to1}\dfrac{1-x-\ln{x}}{x^3-3x^2+2}=\dfrac{0}{0}\\\\ \lim_{x\to1}\dfrac{1-x-\ln{x}}{x^3-3x^2+2}=\lim_{x\to1}\dfrac{\frac{d}{dx}(1-x-\ln{x})}{\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+2)}=\\\\ =\lim_{x\to1}\dfrac{-1-\dfrac{1}{x}}{3x^2-6x}=\lim_{x\to1}\dfrac{1}{3x}\bigg(\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{2-x}\bigg)=\\\\ =\dfrac{1}{3(1)}\bigg(\dfrac{1+\dfrac{1}{1}}{2-1}\bigg)=\dfrac{1}{3}\bigg(\dfrac{2}{1}\bigg)=\boxed{\dfrac{2}{3}}$

Answer 2

Calculando o limite temos:

$lim _{x \rightarrow 1} \frac{1 - x - ln~x}{x^3 - 3x^2+2} = \frac23$

Limites por L'Hôpital

Podemos resolver limites de frações indeterminadas a partir da Regra de L'Hôpital que nos diz que

$lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim _{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Assim, sendo que temos f(x) = 1 - x - ln(x), e g(x) = x³ - 3x² + 2, primeiro, verificamos se há a indeterminação, substituindo x por 1:

f(1) = 1 - 1 - ln 1 = 0 - 0 = 0

g(1) = 1³ - 3 · 1² + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

0/0 é indeterminação, então encontramos as derivadas:

f'(x) = 0 - 1 -1/x = -1 - 1/x

g'(x) = 3x² - 6x

Agora, substituímos x = 1

f'(x) = -1 - 1/1 = -2

g'(x) = 3 · 1² - 6 · 1 = 3 - 6 = -3

Assim, o limite é -2/-3 = 2/3

Veja mais sobre a Regra de L'Hôpital em:

https://brainly.com.br/tarefa/38267732

#SPJ2