Question

Calcule o seguinte integral ∫(2+√x)²

Answer 1

Resposta:

4x + 2/3 x√x + 1/2 x + c

Explicação passo-a-passo:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

√x = x ¹'²

x³'² = x√x  (  '  indica traço de fração)

∫(2 + √x)²dx = ∫(4 + 4√x + x)dx = 4∫dx + 4∫x¹'²dx + ∫xdx =

= 4x + 4(x¹'²⁺¹)/(1/2+1) + x¹⁺¹/(1+1) + c = 4x + 4x³'²/3/2 + x²/2 + c =

4x + 2/3 x³'² + 1/2 x² + c = 4x + 2/3 x√x + 1/2 x + c

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\boxed{4x + \dfrac{8x \sqrt{x} }{3} + \dfrac{x^2}{2} + \mathsf{C}}}}$

Explicação passo-a-passo:

$\int \left(2 + \sqrt{x} \right)^2 \mathsf{d}(x)$

Observe que podemos aplicar algumas propriedades da radiciação, fator que contribuirá para o desaparecimento do radical,

$\boxed{\boxed{\mathsf{ \sqrt[a]{b^c} = b^{\frac{c}{a}} }}}}$

Deste modo, teremos que,

$\int \left(2 + x^{ \frac{1}{2} } \right)^2 \mathsf{d}(x)$

Desenvolvendo o caso acima teremos o seguinte,

$\int \left(4 + 4x^{ \frac{1}{2} } + x \right) \mathsf{d}(x)$

$\int \left(4 + 4x^{ \frac{1}{2} } + x \right) \mathsf{d}(x)$

Destarte, avaliando a integral podemos aplicar as propriedades, então ficaremos com,

$\int 4 \: \mathsf{d}(x) + \int 4x^{ \frac{1}{2} } \: \mathsf{d}(x) + \int x \: \mathsf{d}(x)$

$4x + 4* \green{\int x^{ \frac{1}{2} } \: \mathsf{d}(x)} + \dfrac{x^2}{2}$

$4x + 4* \green{ \dfrac{2x \sqrt{x} }{3} } + \dfrac{x^2}{2}$

$\boxed{\boxed{4x + \dfrac{8x \sqrt{x} }{3} + \dfrac{x^2}{2} + \mathsf{C}}}}$

Espero ter colaborado!)