Question

calcule o rotacional
∇⋅V ?
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja   $V = (F_x(x,y,z), F_y(x,y,z), F_z(x,y,z))$.

A definição do divergente é:    $\bigtriangledown \cdot V = \frac{dF_x}{dx} + \frac{dF_y}{dy} + \frac{dF_z}{dz}$

Logo, temos:

$F_x = e^xcos(y) \Rightarrow \frac{dF_x}{dx} = e^xcos(y) \\\\F_x = e^xsin(y) \Rightarrow \frac{dF_y}{dy} = e^xcos(y) \\\\F_x = e^ycos(x) \Rightarrow \frac{dF_z}{dz} = 0$

Portanto  $\bigtriangledown \cdot V = 2e^xcos(y)$   e   $\bigtriangledown \cdot V(0, \pi, \pi) = -2$

Já o rotacional dado por:

$\bigtriangledown \times V = \left[\begin{array}{ccc}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\frac{d}{dx} &\frac{d}{dy} &\frac{d}{dz} \\F_x&F_y&F_z\end{array}\right]$

Sendo que o rotacional será o determinante dessa matriz, e os operadores da primeira linha indicam as coordenadas.

Calculando o rotacional de V, temos:

$\bigtriangledown \times V = (e^ycos(x)) \hat{x} + (e^ysin(x)) \hat{y} + (2e^ysin(x)) \hat{z}$

Esse valor pode ser reescrito como: $\bigtriangledown \times V = ( \; e^ycos(x); \; e^ysin(x);\; 2e^ysin(x)\;)$

Para o ponto (0 π, π):    $\bigtriangledown \times V = ( \; e^{\pi}, \; 0,\; 0 \;)$

Bons estudos!