Question

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$\mathtt { \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{4n^2+8n+3 \~} }$
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Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre somatórios.

Seja a soma:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2}{4n^2+8n+3}}$

Reescreva o denominador como um produto de dois fatores: Observe que podemos fatorá-lo como $(2n+1)\cdot(2n+3)$

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2}{(2n+1)\cdot(2n+3)}}$

Então, utilizamos frações parciais para reescrever esta fração como uma soma de frações

$\dfrac{A}{2n+1}+\dfrac{B}{2n+3}=\dfrac{2}{(2n+1)\cdot(2n+3)}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por $(2n+1)\cdot(2n+3)$

$A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)=2$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$2An+3A+2Bn+B=2$

Utilizando a propriedade de polinômios identicamente iguais, igualamos os coeficientes de modo a montarmos o seguinte sistema de equações lineares

$\begin{cases}2A+2B=0\\3A+B=2\\\end{cases}$

Divida ambos os lados da primeira equação por um fator $2$

$\begin{cases}A+B=0\\3A+B=2\\\end{cases}$

Utilizamos o método da substituição, subtraindo $A$ em ambos os lados da primeira equação e substituindo $B$ na segunda equação:

$\begin{cases}B=-A\\3A+B=2\\\end{cases}\\\\\\ 3A-A=2$

Some os valores

$2A=2$

Divida ambos os lados da equação por um fator $2$

$A=1$

Substituindo este resultado na primeira equação isolada, temos o valor de $B$:

$B=-1$

Assim, reescrevemos o somatório como:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3}}$

Considere uma variável $k$ de modo que tenhamos:

$\displaystyle{\underset{k\rightarrow \infty}{\lim}~\sum_{n=1}^k~\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3}}$

Expandindo o somatório a alguns termos, percebe-se um padrão

$\underset{k\rightarrow \infty}{\lim}~\dfrac{1}{2\cdot1+1}-\dfrac{1}{2\cdot1+3}+\dfrac{1}{2\cdot2+1}-\dfrac{1}{2\cdot2+3}+\cdots+\dfrac{1}{2(k-1)+1}+\dfrac{1}{2(k-1)+3}+\dfrac{1}{2k+1}+\dfrac{1}{2k+3}\\\\\\ \underset{k\rightarrow \infty}{\lim}~\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots-\dfrac{1}{2k+3}$

Esta é uma soma telescópica, em que apenas o primeiro e último termos são preservados. Assim, o resultado deste somatório é calculado pela expressão:

$\dfrac{1}{3}+\underset{k\rightarrow\infty}{\lim}~-\dfrac{1}{2k+3}$

Calcule os limites, utilizando a propriedade: $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}~\dfrac{1}{x}=0$.

$\dfrac{1}{3}-0\\\\\\ \dfrac{1}{3}~~\checkmark$

Este é o resultado deste somatório.

Answer 2

• O valor da soma é

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}\end{gathered}$

Desejamos calcular a seguinte soma

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} \end{gathered}$

Vamor então abrir em uma fração parcial

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} \end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A(2n+3)}{(2n+1)} +\frac{B(2n+1)}{(2n+3)} \end{gathered}$

Temos agora que encontrar o valor do A e do B, então , sabendo que os denominadores são iguais, logo os numeradores também serão, logo

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{2}{\cancel{(2n+1)(2n+3)}} = \frac{A(2n+3)}{\cancel{(2n+1)}} +\frac{B(2n+1)}{\cancel{(2n+3)}} \end{gathered} }$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2 = A(2n+3) +B(2n+1) \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2 = A\cdot 2n+A\cdot 3+B\cdot 2n+B\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2 = 2An+3A+2Bn+B\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0n+2 = n\cdot (2A+2B)+(3A+B)\end{gathered}$

Podemos então montar um sistema, assim encontrando os respectivos valor de A e B.    

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}2A+2B=0\ \ (I)\\ 3A+B=2 \ \ (II)\end{cases}\end{gathered}$

• Resolvendo esse sisteminha, temos

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 3A+B=2\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} B=2-3A\ \ (III)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 2A+2B=0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 2A+2(2-3A)=0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 2A+4-6A=0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}-4A=-4\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore A=1\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} B=2-3A\ \ (III)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} B=2-3(1)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore B=-1\end{gathered}$

Tendo então os valor de A e B, logo

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A}{(2n+1)} +\frac{B}{(2n+3)} \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)} -\frac{1}{(2n+3)} \end{gathered}$

Vamos então fazer o seguinte, substituimos n e vemos no que dá

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases} \frac{1}{2+1} -\frac{1}{2+3} \\\\ \frac{1}{4+1} -\frac{1}{4+3} \\\\ \ \ \cdots\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{3} -\cancel{\frac{1}{5}} \\\\ \cancel{\frac{1}{5}} -\cancel{\frac{1}{7}} \\ \ \ \ \cdots\\ \cancel{\frac{1}{2n+1}} -\frac{1}{2n+3} \end{cases} \end{gathered} }$

Perceba que todos os termos iram se cortar, logo, iremos considerar apenas o primeiro termo e o último

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \end{gathered}$

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}+ \lim_{n \to \infty} -\frac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2n}{n}+\dfrac{3}{n}} \end{gathered} }$

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}+ \underbrace{\lim_{n \to \infty} -\frac{0}{2+0} }_{\rightarrow 0} \end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \boxed{\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}}\end{gathered} }$

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