Question

calcule o resultado de x e y sabendo que logy x = 2 e 27^x = 9^y
Urgente!!!

Answer 1

Resposta:

$x=\dfrac{4}{9} ~~~~~e~~~~~~y=\dfrac{2}{3}$

Olá!

$log_{y}x=2$

Sabemos que  $27^{x} =9^{y}$  , logo, colocando 27  e 9 na mesma base usando fatoração, temos que:

$(3^{3})^{x} =(3^{2})^{y} \\ \\ 3^{3x} =3^{2y}$

3x = 2y , e assim:

$y=\dfrac{3x}{2}$   .

$log_{\left(\dfrac{3x}{2} \right)} x=2\\ \\ \\\\ x=\left(\dfrac{3x}{2} \right)^{2}\\ \\ \\\\ x=\dfrac{9x^{2}}{4}\\ \\ \\ \\ \dfrac{9x^{2}}{4}-x=0~~~~~~~~~~~~->~~~~~~~~x*\left(\dfrac{9x}{4}-1 \right)=0\\ \\ \\\\ Portanto ~~x'=0~~~e~~~x''=\dfrac{4}{9}$

x = 0   neste caso é descartado, por x é o logaritmando. Então temos que:

$x''=\dfrac{4}{9}$

 

Como  $y=\dfrac{3x}{2}~~~~~~~e~~~x=\dfrac{4}{9}$     , temos:

$y=\dfrac{3}{2} *\dfrac{4}{9} \\ \\ \\\\ y=\dfrac{12}{18} \\ \\ \\ \\ y=\dfrac{2}{3}$

Os valores de x e y são:

$x=\dfrac{4}{9} ~~~~~e~~~~~~y=\dfrac{2}{3}$

:)

Answer 2

Questão contextualizada sobre Logaritmos e Exponenciais.

• Resolução :

➜ Olhando a primeira sentença (Logaritmo) :

↳ O que é ?

''O logaritmo corresponde ao número que a base deve ser elevada para resultar no valor do logaritmando.''

↳ Aplicação da definição :

    $\log_a b = c$ ⇔ $a^{c} = b$

    Em que :

• a = base
• b = logaritmando
• c = logaritmo

Utilizando-se a definição de logaritmo na primeira sentença :

      $\log_y x$ = $2$ ⇔ $y^{2} = x$ ➜ Equação I

➜ Olhando a segunda sentença (Equação Exponencial) :

↳ O que é ?  

''Uma equação exponencial consiste em uma igualdade de dois termos que possuam a variável independente (incógnita) no expoente''.

↳ Como resolver ?

1. Devemos deixar ambos os lados numa mesma base.
2. Depois disso basta trabalhar somente com os expoentes.

Resolvendo a equação exponencial da segunda sentença :

        $27^{x} = 9^{y}$

      $(3^3)^{x} = (3^2)^{y}$

         $3^{3x} = 3^{2y}$

          $3x = 2y$ ➜ Equação II

Note que nós chegamos em duas equações com as mesmas incógnitas. Vamos começar substituindo a Equação I na Equação II :

          $3x = 2y$

          $3y^{2} = 2y$

        $3y^{2} - 2y = 0$ ➜ Equação III

➜ Olhando a terceira sentença (Equação Quadrática Incompleta) :

↳ Identificando particularidades :

''Uma equação quadrática definida genericamente por $ax^{2} + bx + c = 0$ pode ser incompleta quanto aos termos b ou c. No caso a Equação III não possui termo independente, logo ela é incompleta em relação a c.''

↳ Como resolver ?

1. Colocar o termo comum (incógnita) em evidência.
2. Nós vamos cair em uma multiplicação cujo resultado é zero. Nesse caso um dos seus fatores deverá ser igual a zero.

Realizando a fatoração da terceira sentença :

               $3y^{2} - 2y = 0$

               $y(3y - 2) = 0$

   $y' = 0$  ou  $3y - 2 = 0$

                     $3y = 2$

                      $y'' = \dfrac{2}{3}$

Observe que nós chegamos em dois valores diferentes para $y$.

↳ Como encontrar o real valor de y ?

1. Devemos substituir os valores encontrados na expressão de equivalência entre as incógnitas. (Equação I ou Equação II)
2. Após isso deverá ser feita uma análise baseada nas restrições do valor do logaritmando.

➜ Encontrando x (Utilizando-se a Equação I) :

• Se  $y = \dfrac{2}{3} :$          

                $x = y^{2}$

       $x = \left ( \frac{2}{3} \right )^{2}$ ⇔ $x = \dfrac{4}{9}$

• Se $y = 0 :$

             $x = y^{2}$

          $x = 0^{2}$ ⇔ $x = 0$

• Observação : Note que embora nós chegamos em dois resultados possíveis para $x$ apenas um deles será válido. Nós encontraremos esse resultado lembrando que :

        $x$ = logaritmando

                           ➤ Restrição quanto ao Logaritmando :

                Dado um logaritmo qualquer definido por $\log_a b$ = $c$ :

Supondo que nós estejamos trabalhando com um logaritmo cujos valores de base e logaritmando sejam iguais respectivamente a cinco e a zero. Veja :

$\log_50 = c$ ⇔ $5^{c} = 0$

↳ O único número que quando elevado resulta em zero é o próprio zero. Ou seja se o nosso logaritmando assumir este valor a nossa função irá se assemelhar mais a uma função CONSTANTE do que a uma função logarítmica.

Como o valor de $y$ que torna $x = 0$ também é igual a zero ele não nos convém enquanto solução. Logo as soluções da questão serão : $x = \dfrac{4}{9}$ e $y = \dfrac{2}{3}$

Aprenda mais em :

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