Question

calcule o resto da divisao por 5 do numero 342⁴¹

Answer 1

Para a resposta desta tarefa, será usado congruência modular:

Efetuando a divisão euclidiana de  342  por  5  obtemos:

     342 = 340 + 2

     342 = 5 · 68 + 2


Logo, podemos escrever que

     $\mathsf{342\equiv 2\quad(mod~5)}$


Eleve os dois lados da congruência ao quadrado:

     $\mathsf{342^2\equiv 2^2\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{342^2\equiv 4\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{342^2\equiv 4-5\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{342^2\equiv (-1)\quad(mod~5)}$


Como

     41 = 2 · 20 + 1


eleve os dois lados da congruência a  20:

     $\mathsf{(342^2)^{20}\equiv (-1)^{20}\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{342^{2\,\cdot\,20}\equiv 1\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{342^{40}\equiv 1\quad(mod~5)}$


Como  20  é par,  o resultado da potência do lado direito é  1  positivo. Multiplique os dois lados por  342:

     $\mathsf{342^{40}\cdot 342\equiv 1\cdot 342\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{342^{40\,\cdot\,1}\equiv 342\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{342^{41}\equiv 342\equiv 2\quad(mod~5)}$     


ou seja,  existe um  q  natural,  de modo que

     $\mathsf{342^{41}-2=5q}\\\\ \mathsf{342^{41}=5q+2}$


Como  0 ≤ 2 < 5,  então o resto da divisão de  $\mathsf{342^{41}}$  por  5  é  2.


Resposta:  2.


Bons estudos! :-)