Question

Calcule o quociente das diferenças para cada função dada. Simplifique a resposta:


a- f(x) = $\frac{1}{x}$ , $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$


b- f(x)= $\frac{x+3}{x+1}$ , f(x)= $\frac{f(x) - f(1)}{x-1}$

Answer 1

a) Sendo $f(a) = \frac{1}{a}$, temos que:

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}$

Como $\frac{1}{x}- \frac{1}{a}= \frac{a-x}{xa}$, então:

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}= \frac{\frac{a-x}{xa}}{x-a}$

Perceba que a - x = -(x - a).

Assim,

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}= -(\frac{x-a}{xa} ).\frac{1}{x-a}$

Portanto, simplificando encontramos como resultado:

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=- \frac{1}{xa}$

b) Temos que f(1) = 2.

Assim,

$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \frac{\frac{x+3}{x+1}-2}{x-1}$

$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \frac{x+3-2x-2}{x+1}.\frac{1}{x-1}$

$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \frac{-x+1}{x+1}.\frac{1}{x-1}$

Perceba que -x + 1 = -(x - 1).

Assim,

$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \frac{-(x-1)}{x+1} .\frac{1}{x-1}$

Simplificando, o resultado é igual a:

$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= -\frac{1}{x+1}$