Question

Calcule o produto dos 100 primeiros termos da PG (2, -4, 8,...).

Answer 1

Olá.

Para calcular, devemos usar o termo geral da P.G e a fórmula para cálculo do produto dos termos, além do conceito de razão (q) e algumas propriedades de potências. Demonstro tudo abaixo.

$\mathsf{|P_{n}|=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}=}\\\\\mathsf{|P_{n}|=\left[(a_1\cdot a_n)^n\right]^{1/2}=}\\\\\underline{\mathsf{|P_{n}|=(a_1\cdot a_n)^{n/2}}}\\\\\\\underline{\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}}\\\\\\\underline{\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}}$

Propriedades:

$\mathsf{(a^r)^s=a^{r\cdot s}}\\\\\mathsf{a^r\cdot a^s=a^{r+s}}$

--------------------

Vamos aos cálculos, substituindo valores.

$\mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{-4}{2}=-2}$

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\\\\mathsf{a_{100}=2\cdot (-2)^{100-1}}\\\\\mathsf{a_{100}=2\cdot (-2)^{99}}\\\\\mathsf{a_{100}=-2^{100}}$

Substituindo na fórmula:

$\mathsf{|P_{n}|=(a_1\cdot a_n)^{n/2}}\\\\\mathsf{|P_{100}|=(2\cdot(-2^{100}))^{100/2}}\\\\\mathsf{|P_{100}|=(-2^{101})^{50}}\\\\\mathsf{|P_{100}|=(-2)^{101\cdot50}}\\\\\mathsf{|P_{100}|=(-2)^{5.050}}\\\\\boxed{\mathsf{|P_{100}|=2^{5.050}}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.