Calcule o primeiro termo de uma pg, em que A3=1 e A5=9
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a3 = a1q²= 1
a5 = a1q^4 = 9
a1.q^4 / a1.q² = 9/1
cortando a1 e diminuindo expoentes de q
q² = 9 ou 3²
q = 3 *****
a1.q² = 1
a1 . 3² = 1
9a1 = 1
a1 = 1/9 *****
Vamos lá.
Veja, Viviane, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para calcular o primeiro termo (a₁) de uma PG, sabendo-se que o terceiro termo (a₃) é igual a "1" e que o 5º termo (a₅) é igual a 9.
ii) Veja como é simples. Note que o termo geral de uma PG é dada pela seguinte fórmula:
a ̪ = a₁*qⁿ⁻¹ ------ Em que "a ̪" é o termo que queremos encontrar; por sua vez "a₁" é o primeiro termo; por seu turno "q" é a razão da PG; e finalmente "n" é o número de termos.
Assim, para encontrar o 3º termo, faremos:
a₃ = a₁*q³⁻¹ ----- desenvolvendo, teremos;
a₃ = a₁*q² <---- Esta seria a forma de encontrar o 3º termo de uma PG.
E, para encontrar o 5º termo, faremos:
a₅ = a₁*q⁵⁻¹ ---- desenvolvendo, teremos:
a₅ = a₁*q⁴ <-- Esta seria a forma de encontrar o 5º termo de uma PG.
iii) Como já sabemos como se calcula qualquer termo de uma PG, então vamos utilizar apenas as expressões para se calcular o 3º termo e o 5º termo já vistas aí em cima, e que são estas:
a₃ = a₁*q² ----- como o 3º termo é igual a "1", então teremos que:
1 = a₁*q² ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
a₁*q² = 1 . (I).
e
a₅ = a₁*q⁴.-------- como o 5º termo é igual a "9", então teremos que:
9 = a₁*q⁴ ---- ou, invertendo-se, temos:
a₁*q⁴ = 9 . (II).
iv) Note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) e que são estas:
a₁*q² = 1 . (I)
a₁*q⁴ = 9 . (II)
Agora faremos o seguinte: dividiremos, membro a membro, a expressão (II) pela expressão (I). Fazendo isso, teremos:
a₁*q⁴ = 9 ------ [esta é a expressão (II) normal]
a₁*q² = 1 ------- [esta é a expressão (I) normal]
------------------------------ dividindo-se membro a membro, ficaremos com:
a₁*q⁴/a₁*q² = 9/1 ----- fazendo as devidas simplificações, ficaremos com:
q⁴/q² = 9 ---- veja que aqui temos divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:
q⁴⁻² = 9
q² = 9 ------ isolando "q", teremos:
q = ± √(9) ------ como √(9) = 3, teremos:
q = ± 3 ------- veja que a razão (q) poderá ser igual a "-3" ou igual a "3". Mas note que a PG da sua questão é crescente, pois se o terceiro termo é igual a "1' e o 5º termo é igual a "9", então é porque a PG é crescente. E sendo a PG crescente, então a razão (q) deverá ser positiva. Portanto, tomando-se apenas a razão positiva teremos:
q = 3 <--- Este é o valor da razão da PG da sua questão.
Agora, para encontrarmos o valor do primeiro termo (a₁), iremos em quaisquer uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "q" por "3". Vamos na expressão (I), que é esta:
a₁*q² = 1 ------ substituindo-se "q" por "3", ficaremos com:
a₁*3² = 1 ----- como "3² = 9", teremos:
a₁*9 = 1 ----- isolando "a₁" ficaremos com:
a₁ = 1/9 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor do 1º termo pedido.
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por uma mera curiosidade, vamos ver qual será essa PG com os seus primeiros 5 termos. Como já temos o valor do 1º termo (1/9) e como já temos o valor da razão (3), então fica bem fácil de encontrar quais são todos os primeiros 5 termos da PG. Para isso, basta irmos multiplicando cada termo pela razão (3) a partir do valor do primeiro termo (1/9). Assim teremos:
a₁ = 1/9.
a₂ = (1/9)*3 = 3/9 = 1/3
a₃ = (1/3)*3 = 3/3 = 1
a₄ = 1*3 = 3
a₅ = 3*3 = 9 <--- Olha aí como o 5º termo é realmente igual a "9".
Assim, a PG da sua questão, que estamos encontrando apenas por mera curiosidade, será esta:
(1/9; 1/3; 1; 3; 9) <--- Esta seria a PG da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.