Question

Calcule o posto da matriz
[4 -8 3 16
-1 2 -5 -21
3 -6 1 7]

Answer 1

O posto de uma matriz é a dimensão de sua imagem, e essa, por sua vez, é o espaço gerado pelas colunas da matriz. A imagem dessa matriz é dada por

$Im(A)=span\{(4,-1,3),(-8,2,-6),(3,-5,1),(16,-21,7)\}$

Para achar uma base para a imagem, devemos escalonar os vetores nas linhas, ou seja, escalonar a matriz

$\left[\begin{array}{ccc}~~4&-1&~~3\\-8&~~2&-6\\~~3&-5&~~1\\~16&-21&~~7\end{array}\right]$

Fazendo isso:

$\left[\begin{array}{ccc}~~4&-1&~~3\\-8&~~2&-6\\~~3&-5&~~1\\~16&-21&~~7\end{array}\right]~~l_{2}\leftarrow l_{2}+2l_{1},~l_{3}\leftarrow l_{3}-(\frac{3}{4})l_{1},~l_{4}\leftarrow l_{4}-4l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}4&-1&~~3\\0&~~0&~~0\\0&-(\frac{17}{~4})&-(\frac{5}{4})\\0&-17&-5\end{array}\right]~~descartando~l_{2},~l_{3}\leftarrow(-4)l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}4&-1&~~3\\0&-17&-5\\0&-17&-5\end{array}\right]~~descartando~ l_{3}~(l_{3}=l_{2})$

$\left[\begin{array}{ccc}4&-1&~~3\\0&-17&-5\end{array}\right]$

Esses vetores são claramente linearmente independentes, pois não são múltiplos. Portanto, os dois vetores formam base para a imagem de A

Sabemos que a dimensão de um subespaço vetorial é dada pelo número de vetores em qualquer uma base do subespaço, temos que o posto dessa matriz é 2