Question

Calcule o ponto de inflexão:​

Answer 1

Resposta:

Ponto de Inflexão ( 1,6667; -0,74 )

Explicação passo-a-passo:

O ponto de Inflexão seria o ponto que a concavidade da curva muda, entao vamos calcular;

Função

$f(x)=-x^{3}+5x^{2} -6x$

Primeiro Passo achar a derivada da SEGUNDA, entao iremos derivar 2 vezes a função.

$f`(x)=-3x^{2} +10x-6$ Derivada da 1

derivada 2

$f``(x)=-6x+10$ Derivada da segunda

Agora temos que igualar a 0 (zero)

$-6x+10=0\\-6x=-10\\\\\frac{-10}{-6}=1,6667$ x1=1,6667

Terceiro passo

Faça um risco  colocar o X de flexão no meio e pegar um valor anterior e posterior.

         ∪                                            ∩

-------- (-4) ------------- 1,6667 ---------- 4 -------

Quarto Passo

Substitua os valores na derivada da SEGUNDA

$f``(-4)=-6.(-4)+10\\f``(-4)=24+10\\f``(-4)=34\\34>0$ Entao concavidade para CIMA ∪

Substituindo o outro numero agora o 4

$f``(4)=-6.4+10\\f``(4)=-24+10\\f``(4)=-14\\-14<0$ concavidade para BAIXO ∩

Agora substitua o X1=1,6667 na função para achar qual o PONTO

$f(1,6667)=-1,6667^{3}+5.1,6667^{2}-6.1,6667\\f(1,6667)=-4,62+13,88-10\\f(1,6667)=-0,74$

Ponto de Inflexão ( 1,6667; -0,74 )

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos concluímos que a referida função polinomial do terceiro grau - função cúbica -  possui apenas um ponto de inflexão que é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I\bigg(\frac{5}{3},\,-\frac{20}{27}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial do terceiro grau:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -x^{3} + 5x^{2} - 6x\end{gathered}$

Se:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Então, temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -x^{3} + 5x^{2} - 6x\end{gathered}$

Sabemos que o ponto de inflexão de uma função é o ponto no qual ocorre a inversão no sentido da abertura da concavidade de seu gráfico, isto é, o sentido de abertura da concavidade deixa de estar orientado para cima e passa a ser orientado para baixo - ou vise-versa.

Para calcularmos o ponto de inflexão de uma função, devemos:

• Calcular a derivada primeira da função.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = -1\cdot3\cdot x^{3 - 1} + 5\cdot2\cdot x^{2 - 1} - 6\cdot1\cdot x^{1 - 1}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3x^{2} + 10x - 6\end{gathered}$

• Calcular a derivada segunda da função.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = -3\cdot2\cdot x^{2 - 1} + 10\cdot1\cdot x^{1 - 1} - 0\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -6x + 10\end{gathered}$

• Determinar a abscissa do ponto de inflexão.

        A abscissa do ponto de inflexão será sempre o valor numérico de "x" quando a derivada segunda for igual a "0", ou seja:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6x + 10 = 0\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6x = -10\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x = 10\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{10}{6}\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{5}{3}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:x_{I} = \frac{5}{3}\end{gathered}$

• Montar o ponto de inflexão.

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} I = (x_{I},\,y_{I})\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (x_{I},\,f(x))\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{5}{3},\,-\left[\bigg(\frac{5}{3}\bigg)^{3}\right] + 5\cdot\bigg(\frac{5}{3}\bigg)^{2} - 6\cdot\frac{5}{3}\bigg)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \bigg(\frac{5}{3},\,-\left[\frac{5^{3}}{3^{3}}\right] + 5\cdot\frac{5^{2}}{3^{2}} - \frac{30}{3}\bigg)\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{5}{3},\,-\frac{125}{27} + 5\cdot\frac{25}{9} - \frac{30}{3}\bigg)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{5}{3},\,\frac{-125}{27} + \frac{125}{9} - \frac{30}{3}\bigg)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{5}{3},\,\frac{-125 + 375 - 270}{27}\bigg)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{5}{3},\,-\frac{20}{27}\bigg)\end{gathered}$

✅ Portanto, o ponto de inflexão é:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} I\bigg(\frac{5}{3},-\frac{20}{27}\bigg)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$