Question

Calcule o perímetro e a área de um paralelogramo sabendo que suas diagonais medem 6cm e 12cm e que um dos angulos que elas formam entre si mede 120º.

Gabarito Perímetro: 2p = 6 ( √7 + √3) cm;
Área: A = 18√3cm²

Favor apresentar o desenvolvimento da solução e os respectivos cálculos !

Answer 1

Triangulo CED: lados : 6 e 3 e os ângulo entre eles é 120º
a²=b²+c² -2bc.cosX 
DC² = 3²+6² -2.3.6.(-0,5) 
DC² = 45+18 = 63 
DC = 7,93 

Triangulo AED: lados : 6 e 3 e os ângulo entre eles é 60º
AD² =  3²+6² -2.3.6.(0,5)  AD² = 45 - 18 AD² = 27 AD = 5,2 
Agora basta calcularmos o perímetro do paralelogramo:
P = 2x + 2YP = 5,2 x 2 + 7,93 x 2P = 10,4 + 15,86P = 26,26

Answer 2

*Primeiro irei calcular os lados do paralelogramo e encontrar o perímetro, para isso usarei a Lei dos Cossenos

Considerando P o ponto de encontro das diagonais (NOS PARALELOGRAMOS AS DIAGONAIS SE CORTAM AO MEIO) temos :

- No triângulo PBC

BC²= 3²+6²- 2.3.6. cos 120°

BC²= 9+36- 2.3.6. (-1/2)

BC²= 45+18

BC= $\sqrt{63}$ = 3$\sqrt{7}$

- No triângulo PDC

DC²= 3²+6²- 2.3.6. cos 60°

DC²= 9+36- 2.3.6. (1/2)

DC²= 45-18

DC= $\sqrt{27}$ = 3$\sqrt{3}$

Uma vez que os lados opostos são idênticos, o perímetro será:

2 BC+2 DC =>   2.3$\sqrt{7}$+2.3$\sqrt{3}$ = 66($\sqrt{7$+$\sqrt{3}$) cm

*Para calcular a área basta fazer:

Atotal = 2×APBC + 2×APDC

A = 2 ( ΔPBC + ΔPDC)  ====> (Área do triângulo em função do ângulo)        

A = 2 ( $\frac{3.6. sen 120 + 3.6. sen 60}{2}$)                          

A = 18 ($\frac{\sqrt{3} }{2}$+$\frac{\sqrt{3} }{2}$)

A = 18 $\sqrt{3$ cm²