Question

Calcule o perímetro do triângulo determinado pelas retas: y=2x+1, 2y=x-1 e y+x=1. Determine sua altura em relação à reta y+x=1

Answer 1

y=2x+1
2y=x-1
y+x=1

y+x=1          y+1(1)=1
y=1-x           y+1=1
2(1-x)=x-1   y=1-1
2-2x=x-1     y=0
-2x-x=-1-2
-3x=-3
x=-3/-3
x=1

Answer 2

O perímetro do triângulo é 2√5 + √2.

A altura do triângulo em relação a y + x = 1 é 3√2/2.

Distância entre pontos

• Os pontos são dados por coordenadas na forma (x, y);

• A distância entre dois pontos pode ser calculada pela fórmula d² = (xB - xA)² + (yB - yA)².

Para encontrar os vértices do triângulo devemos calcular os pontos de intersecção entre as retas:

• y = 2x + 1 e 2y = x - 1: A(-1, -1)

(x - 1)/2/ = 2x + 1

x - 1 = 4x + 2

3x = -3

x = -1

y = -2 + 1 = -1

• y = 2x + 1 e y + x = 1: B(0, 1)

2x + 1 = 1 - x

3x =0

x = 0

y = 0 + 1 = 1

• 2y = x - 1 e y + x = 1: C(1, 0)

(x - 1)/2 = 1 - x

x - 1 = 2 - 2x

3x = 3

x = 1

y = 1 - 1 = 0

Com os vértices, podemos determinar as distâncias entre os pontos para calcular o perímetro:

d(A, B)² = (0 - (-1))² + (1 - (-1))²

d(A, B)² = 1 + 4

d(A, B) = √5

d(A, C)² = (1 - (-1))² + (0 - (-1))²

d(A, C)² = 4 + 1

d(A, C) = √5

d(B, C)² = (1 - 0)² + (0 - 1)²

d(B, C)² = 1 + 1

d(B, C) = √2

O perímetro do triângulo é:

P = √5 + √5 + √2

P = 2√5 + √2

A altura do triângulo é a distância entre ponto e reta calculada pela fórmula d(r, P) = |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²). Seja r a reta y + x = 1 e P o ponto A:

d(r, A) = |1·(-1) + 1·(-1) + -1|/√(1² + 1²)

d(r, A) = |-3|/√2

d(r, A) = 3√2/2

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