Question

Calcule o perimetro do triangulo de vertices A(2, -5), B(-4, 3) e C(2, 6).

Answer 1

Dadas as coordenadas dos três vértices de um triângulo ABC

$\mathsf{A(x_A,\,y_A),\,B(x_B,\,y_B)~e~C(x_C,\,y_C),}$


o perímetro do triângulo é a soma das distâncias entre os vértices, tomados dois a dois:

$\mathsf{p=d_{AB}+d_{BC}+d_{CA}\qquad\quad(i)}$

________


Para o triângulo dado, temos

$\mathsf{A(2,\,-5),\,B(-4,\,3)~e~C(2,\,6),}$


•   Distância de A até B:

$\mathsf{d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{(-4-2)^2+(3-(-5))^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{(-4-2)^2+(3+5)^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{(-6)^2+(8)^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{36+64}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{100}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=10~u.c.}$


•   Distância de B até C:

$\mathsf{d_{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{(2-(-4))^2+(6-3)^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{(2+4)^2+(6-3)^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{(6)^2+(3)^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{36+9}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{45}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{3^2\cdot 5}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=3\sqrt{5}~u.c.}$


•   Distância de C até A:

$\mathsf{d_{CA}=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{(2-2)^2+(-5-6)^2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{(0)^2+(-11)^2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{0+121}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{121}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=11~u.c.}$

_______


O perímetro do triângulo é

$\mathsf{p=d_{AB}+d_{BC}+d_{CA}}\\\\ \mathsf{p=10+3\sqrt{5}+11}\\\\ \mathsf{p=21+3\sqrt{5}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{p=3\cdot (7+\sqrt{5})~u.c.} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


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Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Tags: perímetro triângulo distância vértices pontos geometria analítica

Answer 2

Tem que calcular a distância de A até B, de B até C e de C até A 
Depois somar tudo.

Distância de A até B:
√(Xa - Xb)² + (Ya - Yb)²
√(2 + 4)² + (-5 -3)²
√36 + 64 
√100
Distância de A até B é 10

Distância de B até C:
√(-4 - 2)² + (3 - 6)²
√36 + 9
√45
√45 = √3² · 5 = 3√5

Distância de C até A:
√(2 - 2)² + (6 + 5)²
√121
Distância de C até A = 11

Agora somando tudo: 10 + √45 + 11 = 21+ 3√5