Question

Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo ABC, sendo :A(3, 1, 2), B(5,−2, 1) e C(0, 3,−3).

Answer 1

Como o perímetro é a soma de todos os lados, temos que calcular o tamanho dos lados. Como temos as coordenadas dos vértices, então podemos usar a fórmula que calcula a distância entre dois pontos para cada par de pontos dado.

Fórmula da distância entre dois pontos, ($(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ e $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$):

$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}$

Para AB, teremos:

A(3, 1, 2)    B(5, -2, 1)

$d_{AB} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}$

$d_{AB} = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-2 - 1)^2 + (1 - 2)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{4 + 9 + 1}$

$d_{AB} = \sqrt{14}$

Para BC, teremos:

B(5, -2, 1)    C(0, 3, -3)

$d_{BC} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}$

$d_{BC} = \sqrt{(0 - 5)^2 + (3 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2}$

$d_{BC} = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (-4)^2}$

$d_{BC} = \sqrt{25 + 25 + 16}$

$d_{BC} = \sqrt{66}$

Para AC, teremos:

A(3, 1, 2)    C(0, 3, -3)

$d_{AC} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2 + (z_{2} - z_{1})^2}$

$d_{AC} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 1)^2 + (-3 - 2)^2}$

$d_{AC} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-5)^2}$

$d_{AC} = \sqrt{9 + 4 + 25}$

$d_{AC} = \sqrt{38}$

Como o perímetro é a soma de todos os lados. Basta somar as distâncias calculadas acima. Assim:

$p = d_{AB} + d_{BC} + d_{AC}$

$p = \sqrt{14} + \sqrt{66} + \sqrt{38}$