Question

Calcule o perímetro de um quadrado cuja diagonal mede
$5 \sqrt{2} \: cm$
​

Answer 1

✅ Após finalizar todos os cálculos, concluímos que o perímetro do referido quadrado em função da medida de sua diagonal é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P = 20\:\textrm{cm}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a medida da diagonal do quadrado:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} d = 5\sqrt{2}\:\textrm{cm}\end{gathered}$

Para calcular o perímetro "P" do quadrado devemos multiplicar por 4 a medida de seu lado, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = 4\ell\end{gathered}$

Como só temos a medida de uma das diagonais, então, para calcular a medida do lado do quadrado devemos, dividir o quadrado por uma de suas diagonais -  gerando desta forma dois triângulos retângulos -  e aplicando o teorema de Pitágoras em um deles, o que corresponde à:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} d^{2} = \ell^{2} + \ell^{2}\end{gathered}$

Desenvolvendo, simplificando e isolando o lado no primeiro membro da equação "II", temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} d^{2} = \ell^{2} + \ell^{2}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d^{2} = 2\ell^{2}\end{gathered}$

Para facilitar a visualização dos cálculos podemos inverter os membros da equação "III", sem perda alguma de generalidades. Então, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\ell^{2} = d^{2}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \ell^{2} = \frac{d^{2}}{2}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \ell = \sqrt{\frac{d^{2}}{2}}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \ell = \frac{\sqrt[\diagup\!\!]{d^{\!\diagup\!\!\!\!2}}}{\sqrt{2}}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \ell = \frac{d}{\sqrt{2}}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \ell = \frac{d}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \ell = \frac{d\sqrt{2}}{(\sqrt[\!\diagup\!\!]{2})^{\!\diagup\!\!\!\!2}}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \ell = \frac{d\sqrt{2}}{2}\end{gathered} }$

Substituindo "IV" em "I", temos:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = 4\cdot\frac{d\sqrt{2}}{2}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = \frac{4d\sqrt{2}}{2}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = 2d\sqrt{2}\end{gathered}$

Portanto, a fórmula para se calcular o perímetro em função da diagonal do quadrado é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = 2d\sqrt{2}\end{gathered}$

Substituindo o valor da diagonal na equação "V", temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = 2\cdot5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot5\cdot1\cdot(\sqrt[\!\diagup\!\!]{2})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot5\cdot1\cdot2\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 20\:\textrm{cm}\end{gathered}$

✅ Portanto, o perímetro é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = 20\:\textrm{cm}\end{gathered}$

                 

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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Answer 2

☑ Através dos cálculos realizados podemos concluir que a medida do perímetro do quadrado é igual a 20 cm.

Para resolver essa questão utilizaremos as seguintes expressões matemáticas:

$\mathsf{\ell=\dfrac{d\cdot\sqrt2}{2}}\quad (equac_{\!\!,}\tilde{a}o~ I)$

$\mathsf{P=4\cdot \ell}\quad (equac_{\!\!,}\tilde{a}o ~II)$

Sejam os dados do anunciado:

$\begin{cases}\sf d=diagonal~ do ~quadrado=5\sqrt2\,cm\\\sf \ell=lado~ do ~quadrado=?\,cm\\\sf P=per\acute imetro ~do~ quadrado=?\,cm\end{cases}$

Substituindo o valor de " d " na (equação I), temos:

$\sf \ell=\dfrac{5\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}$

$\sf \ell=\dfrac{5\cdot2}{2}$

$\boxed{\sf \ell= 5\,cm}$

Substituindo o valor de " ℓ " na (equação II), temos:

$\sf P= 4\cdot 5$

$\boxed{\sf P=20\,cm}$

Para saber mais, acesse:

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