Question

Calcule o número de termos e a soma dos termos desta P.A. (5,10,......,785) e a soma dessa P.A.

Answer 1

Tendo aplicada as fórmulas do termo geral e da soma dos termos da PA, os resultados obtidos foram:

$n = 157\ termos\\\\S = 62015$

Para determinar o número de termos da PA dada aplica-se a fórmula

$an = a1 + (n - 1).r$

Calculando-se a razão:

$r = a2 - a1\\\\r = 10 - 5\\\\r = 5$

Calculando o número de termos:

$an = a1 + (n -1).r\\\\785 = 5 + (n - 1).5\\\\785 = 5 + 5n - 5\\\\785 = 5n \\\\n = 785 / 5\\\\n = 157\ termo$

Caculando-se a soma:

$S = (a1 + an).n / 2\\\\S = (5 + 785).157 / 2\\\\S = 790.157 / 2\\\\S = 124030 / 2\\\\S = 62015$

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Answer 2

Após a realização dos cálculos chegamos a conclusão de que a progressão aritmética contem 157 termos e sua soma é igual 62 015.

Progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é constante que é chamado razão (r).

Exemplos:

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf \bullet \quad ( 1, 3, 5,7, \cdots ) }$ é uma PA infinita de razão $\boldsymbol{ \displaystyle \sf r = 2 }$;

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf \bullet \quad ( 10,0, -10) }$ é uma PA finita de razão $\boldsymbol{ \displaystyle \sf r = -10 }$

Fórmula do termo geral:

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_2 = a_1 +r }$

$\Large \displaystyle \mathsf{a_3 = a_2 +r }$

$\Large \displaystyle \mathsf{a_4 = a_3 +r }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_n = a_{n-1} +r } }$

Somando essas $\boldsymbol{ \textstyle \sf n - 1 }$ igualdades, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \underbrace{\sf a_2 +a_3 +a_4+ \cdots }_{\sf cancela}+a_n = a_1 + \underbrace{\sf a_2+a_3+\cdots }_{\sf cancela} + ( n-1) \cdot r } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{a_n = a_1 + (n-1) \cdot r } }$

Sendo que:

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }$ termo geral;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }$ primeiro termo;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }$ número de termo;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf r \to }$ razão da PA.

Soma dos termos de uma PA finita:

Em toda P.A. tem-se:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{S_n = \dfrac{ (a_n +a_1) \cdot n}{2} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P. A ( 5,10, \dotsi , 785) \\ \sf a_1 = 5 \\ \sf a_2 = 10 \\ \sf r = a_2-a_1\\\sf a_n = 785 \\ \sf n = \:? \\ \sf S_n = \:?\end{cases} } }$

O enunciado pede que calculemos o número de termo da PA.

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 785 = 5 + (n-1) \cdot 5 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 785 = \backslash\!\!\!{ 5}+ 5n -\backslash\!\!\!{ 5} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 785 = 5n }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ n = \dfrac{785}{5} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf n = 157 }$

Agora vamos calcular o valor da soma da PA.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{ (a_n +a_1) \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{157} = \dfrac{ (785 +5) \cdot 157}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{157} = \dfrac{ 790\cdot 157}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{157} = 395 \cdot 157 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_{157} = 62\: 015 }$

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