Question

calcule o numero de termos de uma P.A de numeros positivos, sabendo que a soma dos seus termos é igual a 180, que sua razao é 2 e que seu ultimo termo é 26.

Answer 1

$r = 2$
$a_{1}=?\\a_{n}=26$

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)r\\26 = a_{1} + (n - 1)2\\26 = a_{1} + 2n - 2$

Isolando a₁:

$26 - 2n + 2 = a_{1}\\a_{1}=28 - 2n$
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$S_{n}=(a_{1}+a_{n})*n/2$

Como Sn = 180, a₁ = 28 - 2n e an = 26:

$180 = (28 - 2n + 26)*n/2$
$180=(54 - 2n)*n/2\\180=2*(27-n)*n/2\\180=(27-n)*n\\180=27n-n^{2}\\n^{2}-27n+180=0$

$\Delta=b^{2}-4*a*c\\\Delta=(-27)^{2}-4*1*180\\\Delta=729-720\\\Delta=9$

$n = (-b\pm\sqrt{\Delta})/2a\\n=(-[-27]\pm\sqrt{9})/(2*1)\\n=(27\pm3)/2$

$n'=(27+3)/2\\n'=30/2\\n'=15$

$n''=(27-3)/2\\n''=24/2\\n''=12$
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Se n for 15:

$a_{1}=28-2n\\a_{1}=28-2*15\\a_{1}=28-30\\a_{1}=-2$

n = 15 não serve, pois o exercício cita que a P.A é de números positivos

Testando n = 12:

$a_{1}=28-2*12\\a_{1}=28-24\\a_{1}=4$

Como pode ver, n = 12 é o valor correto.