Question

calcule o número de soluções distintas da equação x+y+z+w=12, na quais x,y,z e w sao números naturais

Answer 1

Você precisa transformar x + y + z + w em soluções distintas para "igual a 12" sendo que os mesmos são números naturais. Como o exercício não disse se podia repetir ou não os números faremos por análise combinatória na questão de combinação, pois aqui a ordem não importa.

O número 12 pode ser feito como uma soma de 1.
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1= 12

Para transformarmos isso em 4 fatores, temos que separa-los em 4, com 3 barras, porém essas barras nunca poderão ficar antes do primeiro 1 ou após o último, pois o zero não está incluido, então as barras tem que sempre ficar entre o “1” e o “+”, assim, por exemplo:
1 | + 1 | + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12

Temos assim 11 posições para 3 barras. Combinação de 11, escolhidos 3 a 3. Mas de adianto, é uma combinação pois as três barras dividem do mesmo jeito, não importando a ordem onde elas estejam. Caso só troquemos a primeira pela segunda barra, a combinação é a mesma! Sendo a fórmula de combinação:

Cn,p = n! / p! × (n - p)!

Temos que:

C11,3 = 11! / 3! × 8! = 11 × 10 × 9 × 8! / 3! × 8! = 990 / 3 = 165 possibilidades

Espero ter ajudado de alguma forma.

Answer 2

O número de soluções distintas será 455

Permutação com repetição

Uma permutação de n elementos, onde um ocorre x vezes, o outro ocorre y vezes e o outro ocorre  z vezes, onde x+y+z=n, dado por:

$P^{x,y,z}_n=\dfrac{n!}{x!y!z!}$

Como a soma dos valores de x,y,z e w é 12, vamos considerar que precisamos separar 12 elementos em 4 partes. Cada modo de separarmos 12 elementos idênticos em 4 partes é uma solução da equação.

•••|•••|•••|••• equivale a x = 3,y = 3,z = 3 e w = 3

•|•••••••••••|| equivale a x = 1, y = 11, z = 0 e w = 0

||••••••••••••| equivale a x = 0, y =0, z = 12 e w = 0

|||•••••••••••• equivale a x = 0, y =0, z = 0 e w = 12

Dessa forma permutando as 12 bolinhas e os 3 separadores temos a quantidade de soluções naturais da equação dada:

$P^{3,12}_{15}=\dfrac{15!}{3!12!}$

$\mathrm{Eliminar\:os\:fatoriais}:\quad \dfrac{n!}{\left(n-m\right)!}=n\cdot \left(n-1\right)\cdots \left(n-m+1\right),\:\quad \:n > \:m$

$\dfrac{15!}{12!}=15\cdot \:14\cdot \:13$

$=\dfrac{15\cdot \:14\cdot \:13}{3!}=455$

Saiba mais sobre permutação:https://brainly.com.br/tarefa/20622320

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