Question

Calcule o módulo do número complexo z, tal que z.z = 7

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{\sqrt{7}}}$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que um Número Complexo é da forma $\displaystyle \mathtt{a + bi; \ a, b \in \mathbb{R}}$.

Isto posto, tome $\displaystyle \mathtt{z = a + bi}$. Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{z = a + bi} \\\\ \mathsf{z^2 = (a + bi)^2} \\\\ \mathsf{z^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2} \\\\ \mathsf{z^2 = a^2 - b^2 + 2abi} \\\\ \mathsf{z^2 = \underbrace{\mathsf{(a^2 - b^2)}}_{parte \ real} + \underbrace{\mathsf{2ab}}_{imagin\'aria} \cdot i}$

Do enunciado, e, por comparação, tiramos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{7 = (a^2 - b^2) + 2ab \cdot i} \\\\ \mathsf{(a^2 - b^2) + 2ab \cdot i = 7 + 0 \cdot i} \\\\ {\quad \quad \Downarrow} \\\\ \begin{cases} \mathsf{a^2 - b^2 = 7} \\ \mathsf{2ab = 0}\end{cases}$

Para solucionar este sistema, far-se-á necessário notar que:

$\displaystyle \mathtt{a^2 - b^2 = 7 \Rightarrow \boxed{\mathtt{b = 0}}}$

Uma vez que $\displaystyle \mathtt{ab = 0}$. Ademais, repare que o contrário resultaria $\displaystyle \mathtt{z^2 = - 7}$; o que seria incorreto, de acordo com o enunciado!

Desse modo,

$\\ \displaystyle \mathtt{a^2 - b^2 = 7} \\\\ \mathtt{a^2 = 7} \\\\ \mathtt{a = \pm \sqrt{7}}$

Portanto,

$\\ \displaystyle |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \\\\ \mathsf{|z| = \sqrt{7 + 0}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{|z| = \sqrt{7}}}}$