Question

Calcule o módulo de $\frac{a+bi}{a-bi}$, com a e b reais. 
A resposta é 1, mas não consigo chegar nesse resultado :x 

Answer 1

$\frac{a+bi}{a-bi}.\frac{a+bi}{a+bi}=\frac{(a+bi)^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+2abi-b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2-b^2+2abi}{a^2+b^2}$

Este número pode ser escrito na forma:

$z=\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2};\frac{2ab}{a^2+b^2}}\right)$

O módulo do número complexo $z(m,n)=\sqrt{m^2+n^2}$

Assim;

$mod(z)=\sqrt{\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{(a^2+b^2)^2}+\frac{4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}} \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}} = \\ \\ \\ \sqrt{\frac{a^4+2a^2b^2+b^4}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)^2}}=\sqrt1=1$