Question

calcule o modulo de i+√3/√3-1,alguem mim ajuda

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o módulo do seguinte complexo:

z = (i+√(3)) / (√(3) - 1) ---- ou, o que é a mesma coisa:
z = [√(3) + i] / [√(3) - 1] ----  antes de iniciar o desenvolvimento para encontrar o módulo, deveremos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser "√(3)+1". Assim, fazendo isso, teremos:

z = {[√(3) + i]*[1+√(3)]} / {[√(3)-1]*[√(3)+1)]} ---- efetuando os produtos indicados, iremos ficar apenas com:

z = {√(3) + 3 + i + i√(3)} / {3 -1} ----- ou apenas:
z = [√(3)+3 + i*(1+√(3)] / 2 ---- ou, dividindo-se cada fator (real e imaginário) por "2":

z = [√(3)+3)]/2 + [1+√(3)]i/2 ---- agora vamos ao módulo, que como você já viu em uma outra questão sua, será dado por (lembre-se: se z = a + bi, então o módulo será: |z| = √(a²+b²)):

|z| = √{[(√(3)+3)/2]² + [1+√(3)]²} ---- desenvolvendo, teremos:
|z| = √{(3+6√(3)+9)/4 + (1+2√(3)+3)/4}
|z| = √{12+6√(3))/4 + (4+2√(3))/4} ----- como o denominador é "4" vale para as duas expressões, então poderemos reescrever assim:

|z| = √{(12+6√(3) + 4+2√(3))/4} ---- reduzindo os termos semelhantes:
|z| = √{(16 + 8√(3))/4} ---- note que isto é a mesma coisa que:
|z| = √{16+8√(3)} / √(4) ---- como √(4) = 2, teremos:
|z| = √{16+8√(3)} / 2 --- no numerador vamos colocar "4" em evidência, com o que ficaremos assim:

|z| = √{4*(4+2√(3)} / 2 ---- note que √(4) = 2, então ficaremos assim:
|z| = 2√{4+2√(3)} / 2 --- simplificando-se tudo por "2", teremos:
|z| = √{4 + 2√(3)} <-- Esta é a resposta. Este é o módulo pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.