Question

calcule o módulo da diferença entre as raízes das equações 12x² - 144 = 0

Answer 1

✅ O módulo da diferença entre as raízes da equação dada é $\rm |x_1 - x_2| = 4\sqrt{3}$ e a soma das raízes é $\rm x_1 + x_2 = 0$

 

☁️ Definição de módulo: O Valor absoluto ou simplesmente módulo de um número é

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad |x| = \begin{cases} \rm ~~~x \quad se~x \geqslant 0 \\ \rm -x~~~~se~x<0 \end{cases} \qquad}}}$

Isto é, o valor absoluto de um número sempre é positivo. Por exemplo:

$\large\begin{array}{lr}\rm |-5| = 5 \qquad |3| = 3 \qquad |\sqrt{7}-4| = -\sqrt{7} + 4 \end{array}$

 

✍️ Solução: Resolver uma equação ou encontrar uma raiz é encontrar valores para uma incógnita ( valor desconhecido ) que satisfaça uma identidade. Nessa questão, queremos encontrar um valor para a incógnita $\rm x$ tal que $\rm x^2 - 144$ seja zero.

 

⚠️ Você pode fazer o que quiser na matemática, desde que não desrespeite suas regras. Então, seguindo alguns postulados e baseando se que temos uma igualdades, ou seja, um lado é igual ao outro, podemos somar ou subtrair valores em ambos os lados, multiplicar ou dividir valores em ambos os lados, elevar ao quadrado ou tirar raízes. Tudo vale se for lícito e se ajudar na solução do problema.

 

ℹ️ Veja que podemos dividir ambos os lados por 12. Podemos também somar 12 em ambos os lados da igualdade e tirar a raiz em ambos os lados. O número $\rm \sqrt{12}$ pode ser quebrado como $\rm 4 \cdot 3$, e como quatro tem raiz exata, tiramos sua raiz e aparece um dois fora multiplicando tudo.

$\large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{12x^2}{\red{12}} - \dfrac{144}{\red{12}} = \dfrac{0}{\red{12}} \\\\\rm x^2 - 12 \red{+ 12} = 0\red{+ 12} \\\\\rm \sqrt{x^2} = \sqrt{12} \\\\\rm x = \pm \sqrt{12} \\\\\rm x = \pm \sqrt{4\cdot 3} \\\\\rm x = \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \\\\\rm x = \pm 2\sqrt{3} \\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: S = \{x~|~ x_1 = -2\sqrt{3} ~\land~x_2 = 2\sqrt{3} \} }}}}\end{array}$

 

❏ O módulo da subtração das raízes será:

$\large\begin{array}{lr}\rm |x_1 - x_2| = | (-2\sqrt{3}) -(2\sqrt{3}) | \\\\\rm |x_1 - x_2| = |\sqrt{3}(-2-2) | \\\\\rm |x_1 - x_2| = |\sqrt{3} \cdot (-4)| \\\\\rm |x_1 - x_2| = |-4\sqrt{3}| \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:|x_1 - x_2| = 4\sqrt{3} }}}}\end{array}$

⚠️ Obs.: Você deve fatorar $\rm \sqrt{3}$, pois ele aparece multiplicando duas vezes. Isso vem da propriedade distributiva da multiplicação.

 

❏ Já a soma das raízes será:

$\large\begin{array}{lr}\rm x_1 + x_2 = -2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\\\\rm x_1 + x_2 = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: x_1 + x_2 = 0 }}}}\end{array}$

⚠️ Obs.: Pelo fato das raízes serem simétricas, isto é, são opostas, ou ainda são iguais em módulo porém com sinais diferentes, a soma é zero.

 

✔️ Resolvido!

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre equação do segundo grau, modulo, função modular:

• brainly.com.br/tarefa/46833765

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

Answer 2

Usando a resolução alternativa de equações incompletas do segundo grau, obtém-se:

4√3

( ver gráfico em anexo sobre as raízes)

A forma geral das equações do segundo grau é do tipo:

$ax^2+bx+c=0\\\\a\neq0\\\\a~;~b~;~c~~\in\mathbb~{R}$

A resolução de todas as equações do segundo grau pode ser feito com a utilização da fórmula de Bhascara:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2\cdot a}$

• Esta equação é incompleta $12\cdot x^2+0\cdot x-144=0$ , falta-lhe o termo em " x "

As equações do segundo grau incompletas têm meios mais curtos para calcular as raízes.

Neste caso :

Primeira etapa → dividir todos os termos por12 , já que 144 = 12²

$\dfrac{12x^2}{12}-\dfrac{144}{12}=\dfrac{0}{12}\\~\\x^2-12=0$

Segunda etapa → passar o " - 12 " para o segundo membro; vai mudar seu sinal

$x^2=12$

Terceira etapa → extrair raiz quadrada em ambos os membros

$\sqrt{x^2} =\sqrt{12} \\~\\x=+\sqrt{12} ~~~ou~~~x=-\sqrt{12}$

Quarta etapa → simplificar $\sqrt{12}$

$\sqrt{12} =\sqrt{4 \cdot3} =\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} =2\sqrt{3}$

• Portanto ficam assim as raízes :

$x=2\sqrt{3} ~~~~ou~~~x=-2\sqrt{3}$

• Mas pedem o " módulo da diferença ". O sinal de módulo é " |    | "

$|~2\sqrt{3}~- (~-2\sqrt{3}~) |\\~\\|~2\sqrt{3}~+ ~2\sqrt{3}~ |\\~\\|~+4\sqrt{3} ~|$

• o módulo de números positivos ou negativos dá sempre um resultado positivo

$|~+4\sqrt{3}~|=~+4\sqrt{3}=~4\sqrt{3}$

Observação → Sinal " menos " atrás de (  ) faz mudar o sinal do que está lá dentro, quando sai:

Exemplo:

$-~(~-2\sqrt{3}~)=~+~2\sqrt{3} }$

Ver mais sobre equações do segundo grau, com Brainly,

https://brainly.com.br/tarefa/51492046?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/588664?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/31293942?referrer=searchResults

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot)$  multiplicação       ( |  | )   módulo de       ( ≠ )  diferente de

( ∈ )   pertence a      ( $\mathbb{R}$ ) conjunto dos números reais

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.