Matemática, perguntado por mayarawibbelt, 9 meses atrás

Calcule o milésimo termo da P.A (8,12,16...)

Soluções para a tarefa

Respondido por joao4maral

Resposta:

Essa é uma progressão aritmética de razão 4.

Então,

a1 + r . 999

8 + 4 . 999

= 3996 + 8

= 4004

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (8, 12, 16,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:8

c)milésimo termo (a₁₀₀₀): ?

d)número de termos (n): 1000 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 1000ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do milésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 2: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 12 - 8 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o milésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₀₀ = 8 + (1000 - 1) . (4) ⇒

a₁₀₀₀ = 8 + (999) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₀₀ = 8 + 3996 ⇒

a₁₀₀₀ = 4004

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O milésimo termo da P.A.(8, 12, 16,...) é 4004.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀₀ = 4004 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o milésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

4004 = a₁ + (1000 - 1) . (4) ⇒

4004 = a₁ + (999) . (4) ⇒

4004 = a₁ + 3996 ⇒ (Passa-se 3996 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

4004 - 3996 = a₁ ⇒

8 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 8 (Provado que a₁₀₀₀ = 4004.)

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