Question

Calcule o menor inteiro positivo n para o qual:

Answer 1

O menor inteiro positivo n para o qual $\sqrt{100+\sqrt{n}}+\sqrt{100-\sqrt{n}}$ é um inteiro é 6156.

Primeiramente, vamos igualar o número a uma letra qualquer. Vamos supor que seja x. Então:

$\sqrt{100+\sqrt{n}}+\sqrt{100-\sqrt{n}}=x$.

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:

$200+2\sqrt{100^2-n}=x^2$.

Observe que é correto afirmar que $200+2\sqrt{100^2-n}<400$, pois $200+2\sqrt{100^2-n}<200+2\sqrt{100^2}$, ou seja,

$200+2\sqrt{100^2-n}<20^2$.

Como $\sqrt{100+\sqrt{n}}+\sqrt{100-\sqrt{n}}=x$, então:

x² < 20²

x < 20 → essa é uma condição para x.

De $\sqrt{100+\sqrt{n}}+\sqrt{100-\sqrt{n}}=x$ podemos reescrever da seguinte maneira:

$2\sqrt{100^2-n}=x^2-200$.

Dessa forma, no lado esquerdo temos um número par e do lado direito temos um inteiro par.

Assim, x² - 200 ≥ 0 ∴ x² ≥ 200.

Agora, basta testar para todos os valores de x < 20 pares e ver qual resultado é maior ou igual a 200.

Vejamos que x = 16 ou x = 18.

Ou seja,

$2\sqrt{100^2-n}=56$

100² - n = 784

n = 9216

ou

$2\sqrt{100^2-n}=124$

100² - n = 3844

n = 6156.

Portanto, o menor é n = 6156.