Question

calcule o limite (x tendendo a zero) de (sen 5x)/3x​

Answer 1

Resposta:   5/3.

Explicação passo a passo:

Calcular o limite:

    $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}5x}{3x}$

Multiplique o numerador e o denominador por 5, para fazer aparecer o limite trigonométrico fundamental:

    $=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}5x\cdot 5}{3x\cdot 5}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{5}{3}\cdot \frac{\mathrm{sen\,}5x}{5x}\\\\\\ =\frac{5}{3}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}5x}{5x}\qquad (i)$

Faça a mudança de variável $5x=u.$ Fazendo assim, $u\to 0$ quando $x\to 0.$ Substituindo, o limite fica

    $\displaystyle=\frac{5}{3}\cdot \lim_{u\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}u}{u}\\\\\\ =\frac{5}{3}\cdot 1\\\\\\ =\frac{5}{3}\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

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