Question

calcule o limite usando o teorema do confronto.
estou com dificuldade nessa questao?

Answer 1

a)
$\displaystyle L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x}\\ \\ L=\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Recuerde...

$\displaystyle -1\leq\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq 1\\ \\ -x\leq x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq x\\ \\ \lim\limits_{x\to 0}-x\leq \lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq \lim\limits_{x\to 0}x\\ \\ 0\leq \lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq0\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0}$

Por lo tanto

                  $\large\boxed{\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 0}$

===================

b)
$\displaystyle L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\sin(1/x)}{x}\\ \\ L=\lim\limits_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Fijese que 

$\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{1}{x}=\infty$

sea  

$\displaystyle a_n=\{2\pi n\}\;, n\in\mathbb N\\ \\ b_n=\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\right\}\;, n\in\mathbb N$

donde
$\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=+\infty \;\wedge\; \lim\limits_{n\to +\infty} b_n=+\infty$

Notemos que

$\lim\limits_{n\to+\infty}\sin (2\pi n) = 0 \;\wedge \;\lim\limits_{n\to+\infty}\sin (2\pi n+\pi/2) = 1$

Por lo tanto

                   $\lim\limits_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

NO EXISTE 

es decir 
                     $\Large\boxed{\not\exists \lim\limits_{x\to 0}f(x)}$