Question

Calcule o limite:
$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{3x^{2} +2x+1} - \sqrt{2x} )$

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}-\sqrt{2}x)$

Se tentarmos fazer $x\to+\infty$ vamos ter $+\infty-\infty$ o que impossibilita o calculo, façamos então a seguinte alteração

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2(3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2})}-\sqrt{2}x)\\\\\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x\sqrt{(3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2})}-\sqrt{2}x)\\\\\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x\left[\sqrt{(3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}-\sqrt{2}\right]\right)$

Note que dentro do colchete $\dfrac{2}{x}\to 0$ e  $\dfrac{1}{x^2}\to 0$

Ou seja, tudo tende a $\sqrt{3}-\sqrt{2}>0$, portanto vamos ter algo como

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x\left[\sqrt{(3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}-\sqrt{2}\right]\right)=+\infty\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{2})=+\infty$