Question

calcule o limite $\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x$

Answer 1

Desejamos calcular o seguinte limite exponencial:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x \end{gathered}$

Para isso, vale ressaltar o seguinte limite fundamental exponencial:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=e \end{gathered}$

Com isso, vamos então fazer uma substituição, chamando então:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf u=x-1\implies x=u+1\end{gathered}$

E se x tente ao infinito, logo u também tenderá ao infinito pois $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf u=x-1\implies u= \infty-1\implies u=\infty\end{gathered}$. Com isso, temos que aquele limite é igual a:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(\frac{u+1+3}{u}\right)^{u+1} \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} \end{gathered}$

Veja que já está bem parecido com o limite fundamental, vamos agora fazer outra substituição. Chamando então:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \frac{4}{u} =\frac{1}{t} \implies u=4t \end{gathered}$

Destarte, surge que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} = \lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{4t+1} \end{gathered}$ $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} = \lim_{t \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^4\cdot \lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)\end{gathered}$

E por fim, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x =e^4\cdot 1 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x =e^4} \end{gathered} }$

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• brainly.com.br/tarefa/21623549

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

La vai a solução do seu limite.