Question

Calcule o limite: $\lim_{x \to \inft0}\frac{senax}{bx}$

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\sf \lim_{x \to 0}\frac{sen(ax)}{bx}$

A primeira coisa que vamos fazer é substituir o valor a qual o "x" tende no local do mesmo:

$\sf \frac{sen(a.0)}{b.0} = \frac{sen(0)}{0} = \frac{0}{0}$

Podemos ver que surgiu a tão famosa indeterminação, ou seja, teremos que fazer manipulações algébricas com intuito de remover essa indeterminação. No limite passo utilizei o "algebrismo", dessa vez vamos utilizar uma regra que salva vidas, chamada de L'Hôpital. Essa regra diz que quando tem-se limites do tipo:

$\boxed{ \: \sf \lim_{x \to p} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: ou \: \: \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty }{ \infty } \: }$

Pode-se aplicar a derivada no numerador e denominador, e fazendo isso é certo que a indeterminação sumirá, lembre-se que só funciona para indeterminações daquele tipo ↑.

$\boxed{ \sf \lim_{x \to p} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p}\frac{ \frac{d}{dx}f(x) }{ \frac{d}{dx} g(x)} }$

Tendo conhecimento da teoria, vamos por isso tudo em prática. Derivando o numerador e denominador separadamente:

$\sf\lim_{x \to 0} \frac{sen(ax)}{bx} =\lim_{x \to 0} \sf \frac{ \frac{d}{dx} [sen(ax)] }{ \frac{d}{dx} (bx)}$

• Derivada do numerador:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \frac{d}{dx} [ sen(ax)]$

Devemos lembrar que a derivada do seno com uma função composta é dada por:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} [sen(u)] = cos(u). \frac{du}{dx}}$

Aplicando essa regrinha:

$\sf \frac{d}{dx} [ sen(ax)] = cos(ax). \frac{d}{dx} (ax)$

Considerando que "a" é uma constante, podemos então aplicar mais uma propriedade que diz: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função $\sf\frac{d}{dx}K.f(x)=K.\frac{d}{dx} f(x)$, aplicando:

$\sf cos(ax).a. \frac{dx}{dx} \longleftrightarrow \sf cos(ax).a$

Essa é a derivada do numerador.

• Derivada do denominador:

A derivada da função do denominador é praticamente a aplicação da propriedade citada logo acima, que trata da relação da constante:

$\sf \frac{d}{dx} (bx) \longleftrightarrow b. \frac{dx}{dx} \longleftrightarrow b$

Substituindo as derivações obtidas, vamos ter que o limite passa ser:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{a.cos(ax)}{b}$

Certamente a indeterminação foi removida, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende mais uma vez para verificar:

$\sf \frac{a.cos(a.0)}{b} = \frac{a.cos(0)}{b} = \frac{a.1}{b} = \boxed{ \boxed{ \sf \frac{a}{b} }}$

Podemos concluir então que o limite é igual a:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{\sf \lim_{x \to 0}\frac{sen(ax)}{bx} = \frac{a}{b}}}}$

Espero ter ajudado