Question

Calcule o limite: $\lim_{t \to \infty}\ \textless \ te^{-t} ,\frac{ t^3+t}{2t^3-1} , tsen\frac{1}{t} \ \textgreater$

se possível, gostaria de uma explicação detalhada. Obrigada!

Answer 1

Vamos avaliar primeiramente cada função "substituindo" o infinito no lugar de t:

$t.e^{-t} = \dfrac{t}{e^t}$: quando t se aproxima do infinito, temos que a exponencial tende a infinito, então temos uma indeterminação do tipo ∞/∞, aplicamos então a regra de L'Hôpital:

$\lim_{t \to \infty} te^{-t} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{1}{e^t} = 0$

$\dfrac{t^3+t}{2t^3-1}$: quando t se aproxima do infinito, ambos numerador e denominador vão para infinito, novamente temos a indeterminação ∞/∞, então:

$\lim_{t \to \infty} \dfrac{t^3+t}{2t^3-1} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{3t^2+1}{6t^2} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6t^2} = \dfrac{1}{2}$

$tsen\dfrac{1}{t} = \dfrac{sen\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}}$: note que escrevendo desta forma, teremos uma indeterminação do tipo 0/0, então:

$\lim_{t \to \infty} \dfrac{sen\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{cos\frac{1}{t}*(-\frac{1}{t^2}) }{-\frac{1}{t^2}} = \lim_{t \to \infty} cos \dfrac{1}{t} = 1$